Odpowiedź:
[tex]k \in (1,\infty)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcje:
[tex]$f(x)=\frac{1}{2} x-\frac{k+5}{2}[/tex]
[tex]$g(x)=-0,4x+\frac{1-7k}{5}[/tex]
Na początek wyznaczamy punkt przecięcia się tych prostych w zależności od parametru [tex]k[/tex] :
Obliczamy [tex]x[/tex] :
[tex]f(x)=g(x)[/tex]
[tex]$\frac{1}{2} x-\frac{k+5}{2}=-0,4x+\frac{1-7k}{5}[/tex]
[tex]5x-5(k+5)=-4x+2(1-7k)[/tex]
[tex]5x-5k-25=-4x+2-14k[/tex]
[tex]9x=27-9k[/tex]
[tex]x=3-k[/tex]
Obliczamy [tex]y[/tex] :
[tex]$[/tex][tex]$y=\frac{1}{2} (3-k)-\frac{k+5}{2} =\frac{3-k-k-5}{2} =\frac{-2-2k}{2} =-1-k[/tex]
Zatem [tex]P=(3-k,-1-k)[/tex]. Pozostało nam rozwiązać nierówność:
[tex]|x|<|y|[/tex]
[tex]|3-k|<|-1-k|[/tex]
[tex]|k-3|<|k+1|[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe modułów:
[tex]k=-1 \vee k=3[/tex]
Zatem będziemy rozpatrywali następujące przypadki:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]k \in (-\infty,-1)[/tex]
[tex]-(k-3)<-(k+1)\\k-3>k+1\\-3>1[/tex]
Sprzeczność - brak rozwiązań w tym przedziale.
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]k \in \ <-1,3)[/tex]
[tex]-(k-3)<k+1\\3-k-k-1<0\\2<2k\\k>1[/tex]
Rozwiązanie w tym przedziale:
[tex]k \in (1,3)[/tex]
[tex]3 ^{\circ{[/tex] [tex]k \in \ <3,\infty)[/tex]
[tex]k-3<k+1\\-3<1[/tex]
Tożsamość, rozwiązania w tym przedziale:
[tex]k \in \ <3,\infty)[/tex]
Zatem ostatecznie mamy:
[tex]k \in (1,\infty)[/tex]
