Matematyka, poproszę o pomoc!

[tex]a)\ \ 3^{\frac{7}{4}}\cdot9^{-\frac{3}{8}}=3^{\frac{7}{4}}\cdot(3^2)^{-\frac{3}{8}}=3^{\frac{7}{4}}\cdot3^{-\frac{3}{4}}=3^{\frac{7}{4}-\frac{3}{4}}=3^1=3\\\\\\b)\ \ \dfrac{2^{-14}\cdot8^3}{2^{-4}}=\dfrac{2^{-14}\cdot(2^3)^3}{2^{-4}}=\dfrac{2^{-14}\cdot2^9}{2^{-4}}=\dfrac{2^{-14+9}}{2^{-4}}=\dfrac{2^{-5}}{2^{-4}}=2^{-5-(-4)}=\\\\=2^{-5+4}=2^{-1}=(\frac{1}{2})^1=\frac{1}{2}\\\\\\c)\ \ log_{\sqrt{2}}16=log_{2^{\frac{1}{2}}}2^4=\frac{4}{\frac{1}{2}}\cdot log_{2}2=4\cdot2\cdot1=8[/tex]

[tex]d)\ \ log_{32}2\sqrt{2}=log_{2^5}2\cdot2^{\frac{1}{2}}=log_{2^5}2^{\frac{3}{2}}= \frac{\frac{3}{2}}{5}\cdot log_{2}2=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot1=\frac{3}{10}[/tex]

ZbiorJviz ZbiorJviz · Answer 2

[tex]a)\\\\3^{\frac{7}{4} } \cdot 9^{-\frac{3}{8} }=3^{\frac{7}{4} }\cdot (3^{2} )^{-\frac{3}{8} }=3^{\frac{7}{4} } \cdot 3^{-\frac{3}{4} }=3^{\frac{7}{4} +(-\frac{3}{4}) }=3^{\frac{7}{4} -\frac{3}{4}}=3^{\frac{4}{4}}=3^{1} =3[/tex]

[tex]b)\\\\\dfrac{2^{-14} \cdot 8^{3} }{2^{-4} } =\dfrac{2^{-14} \cdot (2^{3}) ^{3} }{2^{-4} }=\dfrac{2^{-14} \cdot 2^{3\cdot 3} }{2^{-4} }=\dfrac{2^{-14} \cdot 2^{9} }{2^{-4} }=\dfrac{2^{-14+9} }{2^{-4} }=\dfrac{2^{-5} }{2^{-4} }=2^{-5-(-4)}=2^{-5+4}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}[/tex]

Rozwiązując zadania a , b korzystałam ze wzorów:

[tex]x^{n} \cdot x^{m} =x^{n+m} \\\\x^{n} \div x^{m}=\dfrac{x^{n} }{x^{m} } =x^{n-m} \\\\(x^{n} )^{m} =x^{n\cdot m}[/tex]

[tex]c)\\\\log_{\sqrt{2} } 16 = x\\\\(\sqrt{2}) ^{x} =16\\\\(2^{\frac{1}{2} }) ^{x} =2^{4} \\\\2^{\frac{1}{2} x} =2^{4}~~\Leftrightarrow ~~\dfrac{1}{2} x=4~~\Rightarrow ~~ x=8\\\\log_{\sqrt{2} } 16=8[/tex]

[tex]d)\\\\log_{32} 2\sqrt{2}=x\\\\32^{x} =2\sqrt{2}\\\\32^{x} =2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2} } \\\\(2^{5}) ^{x} =2^{1+\frac{1}{2} }\\\\2^{5x} =2^{\frac{3}{2} } ~~\Leftrightarrow ~~5x=\dfrac{3}{2} ~~\Rightarrow ~~x=\dfrac{3}{10}\\\\log_{32} 2\sqrt{2}=\dfrac{3}{10}[/tex]

Rozwiązując zadania c , d korzystałam ze wzoru :

[tex]log_{a} c =b~~\Leftrightarrow ~~a^{b} =c~~zal.~~a>0,~~a\neq 1,~~c>0[/tex]