Odpowiedź:
a) [tex]f(x) = \frac{e^{x} }{x}[/tex]
b) funkcja rośnie dla x ∈ < 1, ∞ ) , funkcja maleje x ∈( - ∞, 0) u ( 0 , 1 >
c) funkcja posiada minimum [tex]fmin(1) = \frac{e^{1} }{1} = e[/tex]
d) druga pochodna [tex]f''(x) =[/tex] [tex]\frac{ex^{2}-2e^{x}x^{} +2e^{x} }{x^{3} }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x) = \frac{e^{x} }{x}[/tex] [tex]D_{f}[/tex] ∈ R - {0}
a) obliczam pochodną
[tex]f'(x) = \frac{e^{x}*x-e^{x} }{x^{2} }[/tex] [tex]D_{f' }[/tex] ∈ R - {0}
b) przedziały monotoniczności
f' (x) > 0 wtedy funkcja rośnie [tex]\frac{e^{x}*x-e^{x} }{x^{2} }>0[/tex] /* [tex]x^{2}[/tex]
[tex]e^{x}*x-e^{x} >0[/tex]
[tex]e^{x}*(x-1)>0[/tex]
[tex]e^{x}>0[/tex] (zawsze spełnione) więc x - 1 > 0
x > 1 , x ∈ < 1, ∞ )
f' (x) < 0 wtedy funkcja maleje [tex]\frac{e^{x}*x-e^{x} }{x^{2} }<0[/tex] /* [tex]x^{2}[/tex]
[tex]e^{x}*x-e^{x} <0[/tex]
[tex]e^{x}*(x-1)<0[/tex]
[tex]e^{x}>0[/tex] (zawsze spełnione) więc x - 1 < 0
x < 1
x ∈( - ∞, 0) u ( 0 , 1>
c) extrema funkcji
[tex]\frac{e^{x}*x-e^{x} }{x^{2} }=0[/tex] /* [tex]x^{2}[/tex]
[tex]e^{x}*x-e^{x} =0[/tex]
[tex]e^{x}*(x-1)=0[/tex]
[tex]e^{x}>0[/tex] (zawsze spełnione) więc x - 1 = 0
x = 1
[tex]fmin(1) = \frac{e^{1} }{1} = e[/tex]
d) obliczam drugą pochodną
[tex]f''(x) =\frac{(e^{x}*x*1 +e^{x} -e^{x} )*x^{2}-( e^{x}*x-e^{x}) }{x^{4} }[/tex] = [tex]\frac{ex^{3}-2e^{x}x^{2} +2xe^{x} }{x^{4} }[/tex] = [tex]\frac{ex^{2}-2e^{x}x^{} +2e^{x} }{x^{3} }[/tex]
