Odpowiedź:
[tex]L=4(3+\sqrt{3} ) \ cm[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Niech:
[tex]|AD|=x\\|CD|=h\\|BC|=y[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]ACD[/tex] oraz z własności podobieństwa trójkątów (ten wzór jest również w maturalnej karcie wzorów) mamy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x^{2}+h^{2}=16\\h^{2}=6x\end{array}\right[/tex]
Wstawiając drugie równanie do pierwszego mamy:
[tex]x^{2}+6x-16=0\\\Delta=36-4 \cdot 1 \cdot (-16)=100\\[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{-6-10}{2} =-8[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{-6+10}{2}=2[/tex]
Pierwsze rozwiązanie odrzucamy (długość nie może być ujemna). Obliczamy [tex]h^{2}[/tex] :
[tex]h^{2}=2 \cdot 6 =12[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie [tex]BCD[/tex] obliczamy [tex]y[/tex] :
[tex]y^{2}=12+36=48\\y=4\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy obwód trójkąta:
[tex]L=4+2+6+4\sqrt{3} =12+4\sqrt{3} =4(3+\sqrt{3} ) \ cm[/tex]
