Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt8+\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]{32}+\sqrt[4]2\cdot\sqrt[4]8}{\sqrt2\cdot\sqrt[3]2\cdot\sqrt[4]2}=\\\\\\=\dfrac{2^\frac12\cdot8^\frac12+2^\frac13\cdot32^\frac13+2^\frac14\cdot8^\frac14}{2^\frac12\cdot2^\frac13\cdot2^\frac14}=\\\\\\=\dfrac{2^\frac12\cdot(2^3)^\frac12+2^\frac13\cdot(2^5)^\frac13+2^\frac14\cdot(2^3)^\frac14}{2^{\frac12+\frac13+\frac14}}=\\\\\\[/tex]
[tex]=\dfrac{2^{\frac12}\cdot2^{\frac32}+2^\frac13\cdot2^\frac53+2^\frac14\cdot2^\frac34}{2^{\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}}=\\\\\\=\dfrac{2^\frac42+2^\frac63+2^\frac44}{2^{\frac{13}{12}}}=\\\\\\=\dfrac{2^2+2^2+2}{2^{\frac{13}{12}}}=\\\\\\=\dfrac{4+4+2}{2^{\frac{13}{12}}}=\\\\\\=\dfrac{10}{2^{\frac{13}{12}}}=\\\\\\=\dfrac{2\cdot 5}{2\cdot2^{\frac{1}{12}}}=\\\\\\[/tex]
[tex]=\dfrac{5}{\sqrt[12]2}=\dfrac{5}{\sqrt[12]2}\cdot\dfrac{\sqrt[12]{2^{11}}}{\sqrt[12]{2^{11}}}=\dfrac{5\sqrt[12]{2^{11}}}{2}[/tex]
Wyjaśnienie:
wykorzystaliśmy podstawowe własności potęgowania i pierwiastkowania a na samym końcu usunęliśmy niewymierność z ułamka, w którym w mianowniku był pierwiastek 12 stopnia.
