Odpowiedź:
Odpowiedż 4 jest odpowiedzią prawidłową jednak sposób rozwiązania nie do końca wg mnie. Proponuję takie rozwiązanie:
[tex]sin^{2}\alpha+sin^22\alpha+\ldots +sin^2 8\alpha[/tex]
U nas: [tex]sin^2 10^0+sin ^2 20^0+\ldots +sin ^2 80^0[/tex]
wiedząc, że: [tex]sin ^2\alpha =\frac{1-cos 2\alpha}{2}[/tex]
dostajemy:
[tex]=\frac{1-cos 20^0}{2}+\frac{1-cos 40^0}{2}+\ldots +\frac{1-cos 160^0}{2}=\\ \\=\frac{1}{2}\big( 8-(cos 20^0+cos 40^0+\ldots +cos 160^0)\big)[/tex]
Teraz, wiedząc że: [tex]cos\alpha +cos\beta =2cos\frac{\alpha +\beta}{2} cos\frac{\alpha -\beta}{2}[/tex] oraz że [tex]cos (-\alpha )=cos\alpha[/tex]dostajemy:
[tex]cos 20^0+cos 160^0=2cos 90^0cos 70^0\\cos 40^0+cos 140^0=2cos 90^0cos 50^0\\cos 60^0+cos 120^0=2cos 90^0cos 30^0\\cos 80^0+cos 100^0=2cos 90^0cos 10^0[/tex]
Wiedząc, że [tex]cos 90^0=0[/tex] otrzymujemy:
[tex]\frac{1}{2}\big( 8-(cos 20^0+cos 40^0+\ldots +cos 160^0)\big) =\\=4-\frac{1}{2}(0+0+0+0)=4.[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
