7.
Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy liczbę rzeczywistą a, dla której W(a)=0
Jeśli wielomian ma pierwiastek całkowity, to ten pierwiastek jest dzielnikiem wyrazu wolnego.
Wyraz wolny to: -2. Jego dzielniki to: -2, -1, 1, 2
Zatem, aby wykazać, że wielomian W(x) = x⁵ - x² - 2
Wystarczy wykazać, że W(a)≠0 dla każdego a∈{-2,-1,1,2}
W(-2) = (-2)⁵ - (-2)² - 2 = -32 - 4 - 2 = -38 ≠ 0
W(-1) = (-1)⁵ - (-1)² - 2 = -1 - 1 - 2 = -4 ≠ 0
W(1) = 1⁵ - 1² - 2 = 1 - 1 - 2 = -2 ≠ 0
W(2) = 2⁵ - 2² - 2 = 32 - 4 - 2 = 26 ≠ 0
Skoro żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem wielomianu, to wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
8.
[tex]\dfrac{x^4+6x^3-5x^2-42x+40}{x+5}=\dfrac{x^3+4x^2-19x+14}{x+7}\qquad\qquad x\in\mathbb R\setminus\{-5,-7\}[/tex]
Sprawdzamy czy liczniki są podzielne przez mianowniki:
[tex]W_1(x)=x^4+6x^3-5x^2-42x+40\ ,\qquad\qquad a=-5\\W_1(-5)=(-5)^4+6(-5)^3-5(-5)^2-42(-5)+40=\\{}\qquad\qquad 625-750-125+210+40=0\\\\W_2(x)=x^3+4x^2-19x+14\ ,\qquad\qquad a=-7\\W_2(-7)=(-7)^3+4(-7)^2-19(-7)+14=-343+192+133+14=0[/tex]
Skoro są podzielne, to możemy uprościć ułamki wykonując dzielenie:
[tex]{}\quad(x^4+6x^3-5x^2-42x+40):(x+5)=x^3+x^2-10x\\\underline{-\,(x^4+5x^3)\qquad}\\{}\qquad\qquad x^3-5x^2\\{}\qquad\ \ \underline{-\,(x^3+5x^2)\qquad}\\{}\qquad\qquad\ \, -10x^2-42x\\{}\qquad\qquad\ \ \underline{- (10x^2-50x)\qquad}\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ 8x+40\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\, \underline{-(8x+40)\ }\\{}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad =\qquad =[/tex]
[tex]{}\quad(x^3+4x^2-19x+14):(x+7)=x^2-3x+2\\\underline{-(x^3+7x)\qquad\ \ }\\{}\qquad-3x^2-19x\\{}\quad\underline{\,-(-3x^2-21x)\qquad}\\{}\qquad\qquad\qquad\ 2x+14\\{}\qquad\qquad\quad\underline{-\,(2x+14)\,}\\{\qquad}\qquad\qquad=\quad\ \ =[/tex]
Zatem:
[tex]\dfrac{x^4+6x^3-5x^2-42x+40}{x+5}=\dfrac{x^3+4x^2-19x+14}{x+7}\\\\x^3+x^2-10x+8=x^2-3x+2\\\\x^3-7x+6=0\\\\x^3-x-6x+6=0\\\\x(x^2-1) -6(x-1)=0\\\\x(x-1)(x+1) -6(x-1)=0\\\\(x-1)[x(x+1)-6]=0\\\\(x-1)[x^2+x-6]=0\\\\(x-1)[x^2+3x-2x-6]=0\\\\(x-1)[x(x+3)-2(x+3)]=0\\\\(x-1)(x+3)(x-2)=0\\\\x-1=0\quad\vee\quad x+3=0\quad\vee\quad x-2=0\\\\{}\ \ x=1\quad\ \vee\ \quad x=-3\quad\ \vee\ \quad x=2[/tex]
