A∩B to iloczyn zbiorow (czesc wspolna obu zbiorow rozwiazan)
A\B to roznica zbiorow (rozwiazania zbioru A bez czesci wspolnej)
[tex]a) \\A = {x \in R : x^2+2x-1\leq 0[/tex]
[tex]x^2+2x-1\leq 0\\\Delta=2^2-4*1*(-1)\\\Delta=4+4=16\\\sqrt{\Delta}=4\\x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}2=-3\\x_2=\frac{-2+4}2=\frac{2}2=1\\a > 0 - \text{ Ramiona paraboli skierowane w gore}\\\\[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci <= 0 dla <-3; 1>
[tex]B = x \in R : x^2+x \geq 0[/tex]
[tex]x^2+x\geq 0\\\Delta=1^2-4*1*0\\\Delta=1-0\\\Delta=1\\\sqrt{\Delta}=\sqrt1=1\\x_1=\frac{-1-1}2=\frac{-2}2=-1\\x_2=\frac{-1+1}2=\frac02=0[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci >= 0 dla (-∞; -1>∪<0; ∞)
Dla zobrazowania rysujemy os liczbowa i zaznaczmy nasze zbiory rozwiazan na osi i odczytujemy rozwiazania.
A∩B = <-3; -1> ∪ <0; 1>
A\B = (-1; 0)
Ta sama metoda rozwiazuje pozostale przyklady, juz bez rysunkow
b)
[tex]A = x \in R : x^2+4x+2 > 0\\\\x^2+4x+2>0\\\Delta=4^2-4*1*2\\\Delta=16-8\\\Delta=8\\\sqrt{\Delta}=\sqrt8=\sqrt{4*2}=2\sqrt2\\x_1=\frac{-4-2\sqrt2}{2}=\frac{2(-2-\sqrt2)}{2}=-2-\sqrt2\\x_2=\frac{-4+2\sqrt2}{2}=\frac{2(-2+\sqrt2)}{2}=-2+\sqrt2\\[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci wieksze od zera dla x ∈ (-∞; [tex]-2-\sqrt2[/tex])∪([tex]-2-\sqrt2[/tex]; ∞)
[tex]B = x \in R : x^2-x-6<0\\x^2-x-6<0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-6)\\\Delta=1+24\\\Delta=25\\\sqrt{\Delta}=5\\x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}2=-2\\x_2=\frac{1+5}2=\frac62=3[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci mniejsze od zera dla x ∈ (-2; 3)
A∩B = ([tex]-2+\sqrt2[/tex]; 3)
A\B = (-∞; [tex]2-\sqrt2[/tex])∪<3; ∞)
[tex]c) \\A = x\in R : 3x+18 > x^2\\3x+18>x^2\\-x^2+3x+18>0\\\Delta=3^2-4*(-1)*18\\\Delta=9+72\\\Delta=81\\\sqrt{\Delta}=9\\x_1=\frac{-3-9}{-2}=\frac{-12}{-2}=6\\x_2=\frac{-3+9}{-2}=\frac6{-2}=-3\\a<0 - \text{Ramiona paraboli skierowane w dol}\\[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci wieksze od 0 dla x ∈ (-3; 6)
[tex]B = x\in R : x^2-4x\leq 3\\x^2-4x\leq 3\\x^2-4x-3\leq 0\\\Delta=(-4)^2-4*1*(-3)\\\Delta=16+12\\\Delta=28\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\\x_1=\frac{4-2\sqrt7}{2}=\frac{2(2-\sqrt7)}2=2-\sqrt7\\x_2=\frac{4+2\sqrt7}2=\frac{2(2+\sqrt7)}2=2+\sqrt7\\a>0 - \text{Ramiona skierowane w gore}[/tex]
Funkcja przyjmuje wartosci mniejsze badz rowne 0 dla x ∈ (-∞; [tex]2-\sqrt7[/tex]>∪<[tex]2+\sqrt7[/tex]; ∞)
A∩B = (-3; [tex]2-\sqrt7[/tex]>∪<[tex]2+\sqrt7[/tex]; 6)
A\B = ([tex]2-\sqrt7[/tex]; [tex]2+\sqrt7[/tex])
