Odpowiedź:
A = ( 5 , 4 ) , B = ( 4 , 2 ) , C = ( 8 , 0 ) , D = ( 10 , 4 )
xa = 5 ,xb =4 , xc = 8 , xd = 10
ya = 4 , yb = 2 , yc = 0 , yd = 4
a)
Obliczamy współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez punkty
1. współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B
a₁ = (yb - ya)/(xb -xa) = (2 - 4)/(4 - 5) =- 2/(- 1) = 2/1 = 2
2.współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty B i C
a₂ = (yc - yb)/(xc - xb) = ( 0- 2)/(8 - 4) = - 2/4 = - 1/2
3.współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty C i D
a₃ = (yd - yc)/(xd - xc) = (4 - 0)/(10 - 8) = 4/2 = 2
4.współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i D
a₄ = (yd - ya)/(xd - xa) = (4 - 4)/(10 - 5) = 0/5 = 0
Warunkiem prostopadłości prostych jest :
a₁ * a₂ = - 1
a₁ = 2
a₂ = - 1/2
2 * (- 1/2) = - 1
Proste przechodzące przez punkty A i B oraz punkty B i C są prostopadłe
a₂ * a₃ = - 1/2 * 2 = - 1
Proste przechodzące przez punkty B i C oraz punkty C i D są prostopadłe
a₃ * a₄ = 2 * 0 = 0
Proste przechodzące przez punkty C i D oraz punkty A i D nie są prostopadłe
a₄ * a₁ = 0 * 2 = 0
Proste przechodzące przez punkty A i D oraz punkty A i B nie są
prostopadłe
Czworokąt ABCD ma dwa kąty proste
b)
Obliczamy długości boków czworokąta
IABI = √[(xb - xa)² + (yb - ya)²] = √[(4 - 5)² + (2- 4)²] = √[(- 1)² + (- 2)²] =
= √(1 + 4) = √5
IBCI = √[(xc - xa)² + (yc - yb)²] = √[(8 - 4)² + (0 -2)²] = √[4² + (- 2)²] =
= √(16 + 4) = √20 = 2√5
ICDI = √[(xd - xc)² + (yd - yc)²] = √[(10 - 8)² + ( 4 - 0)²] = √(2² + 4²) =
= √(4 + 16)² = √20 = 2√5
IADI = √(xd - xa)² + (yd - ya)²] = √[(10 - 5)² + (4 - 4)²] = √(5² + 0²) =
= √25 = 5
Boki czworokąta IBCI i CDI mają jednakowe długości
c)
Pole trójkąta ABC
PΔABC = 1/2I(xb - xa)(yc - ya) - (yb - ya)(xc - xa)I =
= 1/2I(4 - 5)(0 - 4) - (2 - 4)(8 - 5)I = 1/2I(- 1) * (- 4) - (- 2) * 3I =
= 1/2I4 - (- 6)I = 1/2I4 + 6I = 1/2 * 10 = 10/2 = 5
Pole czworokąta ABCD
Ponieważ a₁ i a₃ maja jednakowe wartości to czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym
a - dłuższa podstawa = ICDI = 2√5
b - krótsza podstawa = IABI = √5
h - wysokość trapezu = IBCI = 2√5
Pt - pole trapezu = 1/2 * (a + b) * h = 1/2 * (2√5 + √5) * 2√5 =
= 1/2 * 3√5 * 2√5 = 1/2 * 6 * 5 = 30/2 = 15
Pt : PΔABC = 15 : 5 = 3 c.n.u
