Odpowiedź:
a)
(2x + 5)/(x² - 1) =1/(x + 1)
założenie:
x² - 1 = (x - 1)(x + 1) ≠ 0
x - 1 ≠ 0 ∧ x + 1 ≠ 0
x ≠ 1 ∧ x ≠ - 1
D: x ∈ R \ { - 1 , 1 }
(2x +5)/(x² - 1) =1/(x + 1)
(2x + 5)(x + 1) = x² - 1
2x² + 5x + 2x + 5 = x² - 1
2x² + 7x + 5 = x² - 1
2x² - x² + 7x + 5 + 1 = 0
x² + 7x + 6 = 0
a = 1 , b = 7 , c = 6
Δ = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( - 7 - 5)/2 = - 12/2 = - 6
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (- 7 + 5)/2 =- 2/2 = - 1 ponieważ (- 1) nie należy do dziedziny więc:
x = - 6
b)
2x - 6 = 8x/(x - 4)
założenie
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4
D: x ∈ R \ { 4 }
2x - 6 =8x/(x - 4)
(2x - 6)(x - 4) = 8x
2x² - 6x - 8x + 24 = 8x
2x² - 14x + 24 = 8x
2x² - 14x - 8x + 24 = 0
a = 2 , b = - 14 , c = 24
Δ = b² - 4ac = (- 14)² - 4 * 2 * 24 = 196 - 192 = 4
√Δ = √4 = 2
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (14 - 2)/4 = 12/4 = 3
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (14 + 2)/4 = 16/4 = 4 ponieważ 4 nie należy do dziedziny więc
x = 3
c)
(8 - x)/(3 - 4x) ≤ 0
założenie
3 - 4x ≠ 0
- 4x ≠ - 3
4x ≠ 3
x ≠ 3/4
x ∈ R \ {3/4}
(8 - x)/(3 - 4) ≤ 0 | * (3 - 4x)² mnożymy przez kwadrat mianownika aby zachować znak nierówności
(8 - x)(3 - 4x) ≤ 0
24 - 3x - 32x + 4x² ≤ 0
4x² - 35x + 24 ≤ 0
obliczamy miejsca zerowe
4x² - 35x + 24 =0
a = 4 , b = - 35 , c = 24
Δ = b² - 4ac = (- 35)² - 4 * 4 * 24 = 1225 - 384 = 841
√Δ = √841 = 29
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (35 - 29)/8 = 6/8 = 3/4 nie należy do dziedziny
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (35 + 29)/8 = 64/8 = 8
x = 8
Ponieważ 3/4 nie należy do dziedziny więc :
x ∈ ( 3,4 ; 8 >
d)
8/(x - 3 > 1
założenie
x - 3 ≠ 0
x ≠ 3
D: x ∈ R \ {3}
8/(x - 3) > 1 | * (x - 3)²
8(x - 3) > (x - 3)²
8x - 24 > x² - 6x + 9
- x² + 8x + 6x - 24 - 9 > 0
- x² + 14x - 33 > 0
Obliczamy miejsca zerowe
- x² + 14x - 33 = 0
a = - 1 , b = 14 , c = - 33
Δ = b² - 4ac = 14² - 4 * (- 1) * (- 33) = 196 - 132 = 64
√Δ = √64 = 8
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 14 - 8)/(- 2) = - 22/(- 2) = 22/2 = 11
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (- 14 + 8)/(- 2) = - 6/(- 2) = 6/2 = 3 nie należy do dziedziny
a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu ; wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX
x ∈ ( 3 , 11 >
e)
(5x - 1)/(5 - x) ≥ 0
założenie
5 - x ≠ 0
- x ≠ - 5
x ≠ 5
D: x ∈ R \{5}
(5x - 1)/(5 - x) ≥ 0 | * (5 - x)²
(5x - 1)(5 - x) ≥ 0
25x - 5 - 5x² + x ≥ 0
- 5x² + 26x - 5 ≥ 0
Obliczamy miejsca zerowe
- 5x² + 26x - 5 = 0
a = - 5 , b = 26 , c = - 5
Δ = b² - 4ac = 26² - 4 * (- 5) * (- 5) = 676 - 100 =576
√Δ = √576 = 24
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 26 - 24)/( - 10) = - 50/(- 10) = 50/10 = 5 nie należy do dziedziny
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (- 26 + 24)/(- 10) = - 2/(- 10) = 2/10 = 1/5
a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu; wartości większe od zera znajdują się nad osią OX
x ∈ < 1/5 ; 5 )
f)
6/(x - 2) < 1
założenie
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2
D: x ∈ R \ {2}
6/(x - 2) < 1 | * (x - 2)²
6(x - 2) < (x - 2)²
6x - 12 < x² - 4x + 4
- x² + 6x + 4x - 12 - 4 < 0
- x² + 10x - 16 < 0
Obliczamy miejsca zerowe
- x² + 10x - 16 = 0
a = - 1 , b = 10 , c = - 16
Δ = b² - 4ac =10² - 4 * (- 1) * (- 16) = 100 - 64 = 36
√Δ = √36 = 6
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( - 10 - 6)/(- 2) = - 16/(- 2) = 16/2 = 8
x₂ = (- b +√Δ)/2a = (- 10 + 6)/(- 2) = - 4/(- 2) = 4/2 = 2 nie należy do dziedziny
a < 0 więc ramiona paraboli skierowane do dołu; wartości mniejsze od zera znajdują się pod osią OX
x ∈ (- ∞ , 2 ) ∪ < 8 , + ∞ )
g)
(2x + 1)/(x² - 9) = 3/(x - 3)
założenie
x² - 9 = (x - 3)(x + 3) ≠ 0
x - 3 ≠ 0 ∧ x + 3 ≠ 0
x ≠ 3 ∧ x ≠ - 3
D: x ∈ R \ {- 3 , 3 }
(2x + 1)/(x² - 9) = 3/(x - 3)
(2x + 1)(x - 3) = 3(x² - 9)
2x² + x - 6x - 3 = 3x² - 27
2x² - 3x² - 5x - 3 + 27 = 0
- x² - 5x + 24 = 0
a = - 1 , b = - 5 , c = 24
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4 * (- 1) * 24 = 25 + 96 = 121
√Δ = √121 = 11
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (5 - 11)/(- 2) = - 6/(- 2) = 6/2 = 3 nie należy do dziedziny
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (5 + 11)/(- 2) = 16/(- 2) = - 16/2 = - 8
x = - 8
h)
x/(x - 4) = x - 3
założenie
x - 4 ≠ 0
x ≠ 4
D: x ∈ R \ {4}
x/(x - 4) = x - 3
x = (x - 3)(x - 4)
x = x² - 3x - 4x + 12
x = x² - 7x + 12
- x² + x + 7x - 12 = 0
- x² + 8x - 12 = 0
a = - 1 , b = 8 , c = - 12
Δ = b² - 4ac = 8² - 4 * (- 1) * (- 12) = 64 - 48 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( - 8 - 4)/(- 2) = - 12/(- 2) = 12/2 = 6
x₂ = (- b + √Δ)/2a = ( - 8 + 4)/(- 2) = - 4/(- 2) = 4/2 = 2
