Rozwiąż równanie....

[tex]\dfrac{(n+1)!-2n!}{(n+2)!}=\dfrac{1}{10}\\\\10((n+1)!-2n!)=(n+2)!\\10(n+1)!-20n!=(n+2)!\\10(n+1)-20=(n+1)(n+2)\\10n+10-20=n^2+2n+n+2\\n^2-7n+12=0\\n^2-3n-4n+12=0\\n(n-3)-4(n-3)=0\\(n-4)(n-3)=0\\n=4 \vee n=3[/tex]

Answer Link

Aerrusviz Aerrusviz · Answer 2

Odpowiedź:

[tex]n \in \{3, 4\}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Dziedziną równania są liczby naturalne [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].

Należy przypomnieć sobie rekurencyjną definicję silni:

[tex]0! = 1[/tex]

[tex]n! = n\cdot(n-1)![/tex]

To pozwala nam zapisać inaczej lewą stronę równania:

[tex]\frac{(n+1)n!-2n!}{(n+2)(n+1)n!} = \frac{1}{10}[/tex]

Silnia nigdy się nie zeruje, zatem można skrócić ułamek przez n!:

[tex]\frac{n+1-2}{(n+2)(n+1)} = \frac{1}{10}[/tex]

Korzystamy z własności proporcji [tex]\frac{a}{c}=\frac{b}{d} \iff ad = bc[/tex]:

[tex]10n-10 = (n+2)(n+1)\\10n-10 = n^2+3n+2\\0 = n^2 - 7n + 12 \iff 0 = (n-3)(n-4)[/tex]

Zatem rozwiązaniem równania jest [tex]n \in \{3, 4\}[/tex].