Odpowiedź:
a) x=1 lub x=4
b) [tex]x \in (-\infty, -2)[/tex]
c) [tex]x = \frac{9}{4}[/tex]
d) [tex]x \in [-1; 2][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dane są do rozwiązania pewne równania i nierówności wykładnicze. Należy wykorzystać następujące własności:
- Funkcja wykładnicza [tex]a^x[/tex] jest różnowartościowa, czyli [tex]a^x = a^y \implies x=y[/tex].
- Dla [tex]a > 1[/tex] funkcja [tex]a^x[/tex] jest rosnąca, czyli [tex]a^x > a^y \iff x> y[/tex].
- Dla [tex]a < 1[/tex] funkcja [tex]a^x[/tex] jest malejąca, czyli [tex]a^x > a^y \iff x < y[/tex].
a) Aby skorzystać z jednej z powyższych własności, musimy najpierw zamienić obie strony równania na potęgi o tych samych postawach. Łatwo zrobimy to dla podstawy 3:
[tex]3^{x^2-5x+8}=3^4 \iff x^2-5x+8 = 4 \iff x^2 -5x +4 = 0[/tex]
[tex](x-1)(x-4) = 0[/tex]
Rozwiązaniami są x=1 i x=4.
b) Proponuję zamianę obu stron na potęgi o podstawie [tex]\frac{3}{4}[/tex]:
[tex](\frac{3}{4})^{-2(-2x+1)} < (\frac{3}{4})^{6x+2} \iff 4x -2 > 6x + 2 \iff 2x < -4 \iff x < -2[/tex]
[tex]x \in (-\infty, -2)[/tex]
c) Zamieńmy na potęgi o podstawie 5 i zastosujmy wzór na iloczyn potęg:
[tex]5^{2x-3}\cdot5^{2(-3+x)}=5^0\\5^{2x-3}\cdot5^{2x - 6} = 5^0\\5^{4x-9} = 5^0 \iff 4x-9 = 0 \iff x = \frac{9}{4}[/tex]
d) Zamieńmy na potęgi o podstawie 2, zastosujmy wzór na iloczyn potęg:
[tex]2^{x^2-2}\cdot2^{2(x+3)}\leq 2^{3(x+2)}\\2^{x^2-2}\cdot2^{2x+6}\leq 2^{3x+6}\\2^{x^2+2x+4} \leq 2^{3x+6} \iff x^2+2x+4 \leq 3x+6 \iff x^2-x-2 \leq 0[/tex]
Została nam do rozwiązania nierówność kwadratowa. Zauważmy, że [tex]x^2-x-2 = (x+1)(x-2)[/tex], czyli rozpatrywana funkcja ma miejsca zerowe x=-1 i x=2. Ramiona paraboli są zwrócone do góry (współczynnik przy x^2 jest dodatni), zatem ta funkcja jest niedodatnia dla [tex]x \in [-1; 2][/tex]. Ten przedział jest rozwiązaniem nierówności kwadratowej, a także wyjściowej nierówności.
