Odpowiedź:
a) [tex]x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex],
b) [tex]x = \frac{11\pi}{12} + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex],
c) [tex]x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Chcemy rozwiązać równanie trygonometryczne, czyli znaleźć wszystkie wartości x, dla których wskazana w równaniu funkcja trygonometryczna przyjmuje wskazaną wartość.
a) Szukamy argumentów x, dla których funkcja tangens przyjmuje wartość [tex]1 - \sqrt{2}[/tex]. Jak widać takiej wartości nie ma w tabeli. Jednak można spróbować wykorzystać wzór redukcyjny [tex]\tan(\pi-x) = -\tan(x)[/tex]. Z tabeli odczytujemy, że dla [tex]x = \frac{\pi}{8}[/tex], [tex]\tan x = \sqrt{2}-1[/tex]. Zatem [tex]\tan(\pi-\frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{7\pi}{8}) = 1-\sqrt{2}[/tex]. Znaleźliśmy jedno z rozwiązań równania: [tex]x = \frac{7\pi}{8}[/tex]. Przypomnijmy, że funkcja tangens jest różnowartościowa w przedziale [tex](-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})[/tex] oraz ma okres równy [tex]\pi[/tex]. Zatem, jeśli znamy jedno rozwiązanie [tex]x_0[/tex], to wszystkie rozwiązania równania mają postać [tex]x_0 + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex]. Zatem rozwiązaniem równania jest [tex]x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex]
b) Rozwiązanie przebiega podobnie jak w a). Z tabelki [tex]\tan(\frac{\pi}{12}) = 2-\sqrt{3} \implies \tan(\frac{11\pi}{12}) = \sqrt{3}-2[/tex] Rozwiązaniem ogólnym jest [tex]x = \frac{11\pi}{12} + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex].
c) Kolejne analogiczne rozwiązanie. Tym razem należy wykorzystać wzór redukcyjny [tex]\cot(\pi-x) = -\cot(x)[/tex]. Z tabelki [tex]\cot( \frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}+1 \implies \cot( \frac{7\pi}{8}) = -\sqrt{2}-1[/tex]. Tutaj również jeśli znamy jedno rozwiązanie [tex]x_0[/tex], to wszystkie rozwiązania równania mają postać [tex]x_0 + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex] (ćwiczenie: spróbuj to uzasadnić podobnie jak ja w pkt. a)). Zatem rozwiązaniem ogólnym jest [tex]x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k\in \mathbb{Z}[/tex].
