Witaj :)
Zajmijmy się pierw trójmianem T1.
[tex]\large\boxed{y=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex] gdy Δ>0
[tex]\Large \boxed{y=a(x-x_0)^2}[/tex] gdy Δ=0
Gdzie:
a - współczynnik kierunkowy
x1, x2, x0 - miejsca zerowe
W przypadku gdy Δ<0 funkcja nie posiada postaci iloczynowej.
[tex]y=-5(x+2)^2+5\\y= -5(x^2+4x+4)+5\\y= -5x^2-20x-20+5\\y= -5x^2-20x-15[/tex]
Zastosowano tutaj wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch czynników:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
Obliczmy teraz deltę:
[tex]a= -5\\b=-20\\c=-15\\\\\Delta = b^2-4ac=(-20)^2-4\cdot (-5)\cdot (-15)=400-300=100\ >0[/tex]
Delta jest większa od 0, więc funkcja posiada dwa miejsca zerowe. obliczmy je:
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-20)-\sqrt{100}}{2\cdot(-5)} =\frac{20-10}{-10} =-1\\\\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-20)+\sqrt{100}}{2\cdot(-5)} =\frac{20+10}{-10} =-3[/tex]
Wzór funkcji w postaci iloczynowej wygląda następująco:
[tex]y=-5(x-(-1)(x-(-3))\\\\\Large \boxed{y=-5(x+1)(x+3)}[/tex]
Przejdźmy teraz to trójmianu T2.
[tex]\Large \boxed{y=a(x-p)^2+q}[/tex]
Gdzie:
p,q - współrzędne wierzchołka paraboli. Aby je obliczyć korzystamy ze wzorów:
[tex]p=-\frac{b}{2a} \\\\q=\frac{-\Delta}{4a}\ lub\ q=f(p)[/tex]
Przekształćmy naszą funkcję do postaci ogólnej:
[tex]y=4(x-6)(x+2)\\y=(4x-24)(x+2)\\y=4x^2+8x-24x-48\\y=4x^2-16x-48[/tex]
Obliczmy współrzędne wierzchołka:
[tex]a=4\\b=-16\\c=-48\\\\p=-\frac{b}{2a}=\frac{-(-16)}{2\cdot 4}=\frac{16}{8}=2\\\\q=f(p)=f(2)=4\cdot 2^2 -16\cdot 2-48=16-32-48=-64[/tex]
Podstawiamy współrzędne wierzchołka do wzoru postaci kanonicznej:
[tex]y=4(x-2)^2+(-64)\\\\\Large \boxed{y=4(x-2)^2-64}[/tex]
