Odpowiedź:
I etap
Załóżmy, że [tex]\sqrt{7}[/tex] jest liczbą wymierną, czyli można zapisać ją w postaci :[tex]\sqrt{7} =\frac{m}{n}[/tex] , gdzie m,n - względnie pierwsze ( NWD(m,n)=1 )
II etap
Podnieśmy do kwadratu obie strony powyższego równania. Wtedy :
[tex]7=\frac{m^2}{n^2}[/tex]
Mnożąc przez n² obie strony mamy :
[tex]7n^2=m^2[/tex]
Czyli 7|m² ( 7 dzieli m² )
Czyli liczbę m możemy zapisać jako : m=7k , k∈Z
Podstawiamy m=7k
[tex]7n^2=(7k)^2[/tex]
[tex]7n^2=49k^2[/tex]
[tex]n^2=7k^2[/tex]
Etap III
[tex]n^2=7k^2[/tex] stąd : 7|n
Co prowadzi do sprzeczności ( stąd wynika że 7 dzieli n, a z założenia wiemy, że m oraz n są względnie pierwsze czyli jedynym ich wspólnym dzielnikiem jest 1).
C.N.D
