Odpowiedź:
a) [tex]W(x)=(x-1)^2(x+1)^2[/tex]
b) [tex]W(x) = (2x+1)(2x-1)(4x^2+1)[/tex]
c) [tex]W(x) = (x+4)(x^2-7x+31)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
a) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy [tex]x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2[/tex], mamy:
[tex]W(x) = (x^2-1)^2[/tex]
Następnie należy użyć wzoru na różnicę kwadratów [tex]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex]:
[tex]W(x)=(x-1)^2(x+1)^2[/tex].
Wszystkie czynniki są 1 stopnia więc nie możemy bardziej rozłożyć wielomianu.
b) Ponownie używamy wzoru na różnicę kwadratów [tex]a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)[/tex]:
[tex]W(x) = (4x^2-1)(4x^2+1)[/tex]
Drugi z czynników jest nierozkładalny ([tex]\Delta < 0[/tex]), natomiast do pierwszego można znowu zastosować wzór na różnicę kwadratów:
[tex]W(x) = (2x+1)(2x-1)(4x^2+1)[/tex]
Otrzymaliśmy rozkład na czynniki 1 stopnia lub nierozkładalne 2 stopnia, stąd to jest maksymalny rozkład wielomianu.
c) Używamy wzoru na sumę sześcianów [tex]x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)[/tex]:
[tex]W(x) = (x+4)((x-1)^2-5(x-1)+25)[/tex]
[tex]W(x) = (x+4)(x^2-7x+31)[/tex]
Drugi z czynników jest nierozkładalny ([tex]\Delta < 0[/tex]), pierwszy jest czynnikiem liniowym, stąd otrzymaliśmy maksymalny rozkład wielomianu.
