1.
cosα = 1/2 dla:
α = π/3 + 2kπ i α = 5π/3 + 2kπ (k∈C)
W przedziale od 0 do π cosinus maleje, czyli dla α>π/3, cosα<1/2
Potem rośnie, ale wartość 1/2 przekracza dopiero dla α>5π/3
Czyli
cosα < 1/2 dla α ∈ (π/3+2kπ ; 5π/3+2kπ) (k∈C)
Nasze α = x + π/4, czyli:
cos(x + π/4) <1/2 ⇔ x+π/4 ∈ (π/3+2kπ ; 5π/3+2kπ) (k∈C)
I "przesuwamy": x ∈ (π/3-π/4+2kπ ; 5π/3-π/4+2kπ) (k∈C)
π/3-π/4 = 4π/12 - 3π/12 = π/12
5π/3 - π/4 = 20π/12 - 3π/12 = 17π/12
więc x ∈ (π/12+2kπ ; 17π/12+2kπ) (k∈C)
Na koniec uzgadniamy wynik z podaną dziedziną:
π/12 > 0, a 17π/12 < 2π, (czyli nie musimy przesuwać)
Zatem:
2.
tgα = 1 dla α = π/4 + kπ (k∈C)
tangens jest rosnący we wszystkich przedziałach swojej dziedziny, a jego granica "przeskakuje" z +∞, na -∞ w punktach -π/2+kπ, czyli
tgα < 1 dla α ∈ (-π/2+kπ; π/4+kπ) (k∈C)
nasze: α = x - π/3, czyli:
tg(x - π/3) < 1 dla x-π/3 ∈ (-π/2+kπ ; π/4+kπ) (k∈C)
x ∈ (-π/2+π/3+kπ; π/4+π/3+kπ) (k∈C)
x ∈ (-π/6+kπ ; 7π/12+kπ) ∧ x ∈ <0, π> (k∈C)
