Rozwiązanie:
[tex]f(x)=4cos^{2}x+cos4x+1[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]f(x)=4cos^{2}x+cos(2 \cdot 2x)+1=4cos^{2}x+2cos^{2}2x-1+1=4cos^{2}x+2(2cos^{2}x-1)^{2}=4cos^{2}x+2(4cos^{4}x-4cos^{2}x+1)=4cos^{2}x+8cos^{4}x-8cos^{2}x+2=8cos^{4}x-4cos^{2}x+2[/tex]
Teraz podstawmy [tex]t=cos^{2}x[/tex], gdzie [tex]0\leq t\leq 1[/tex] :
[tex]f(t)=8t^{2}-4t+2[/tex]
Teraz musimy sprawdzić trzy wartości:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]t=0[/tex] :
[tex]f(0)=2[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]t=1[/tex] :
[tex]f(1)=8-4+2=6[/tex]
[tex]3^{\circ}[/tex] Wierzchołek paraboli:
[tex]p=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}[/tex]
Zatem:
[tex]f(\frac{1}{4} )=8 \cdot \frac{1}{16} -4 \cdot \frac{1}{4}+2=\frac{1}{2}-1+2=\frac{3}{2}[/tex]
Zatem zbiór wartości funkcji [tex]f[/tex] to przedział [tex]Y=\ <\frac{3}{2},6 >[/tex]
