Rozwiązanie:
[tex]b)[/tex]
[tex]\frac{2}{1 \cdot 3} +\frac{2}{3 \cdot 5} +\frac{2}{5 \cdot 7} +...+\frac{2}{19 \cdot 21}[/tex]
Na początek zauważmy, że:
[tex]\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n} -\frac{1}{n+2}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]\frac{2}{1 \cdot 3} +\frac{2}{3 \cdot 5} +\frac{2}{5 \cdot 7} +...+\frac{2}{19 \cdot 21}=\frac{1}{1} -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5} -\frac{1}{7}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{21} =1-\frac{1}{21}= \frac{20}{21}[/tex]
[tex]d)[/tex]
[tex]\frac{1}{2 \cdot 4} +\frac{1}{4 \cdot 6} +\frac{1}{6 \cdot 8} +...+\frac{1}{48 \cdot 50} \\[/tex]
Na początek zauważmy, że:
[tex]\frac{1}{2 \cdot 4} +\frac{1}{4 \cdot 6} +\frac{1}{6 \cdot 8} +...+\frac{1}{48 \cdot 50}=\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3} +...+\frac{1}{24 \cdot 25} )[/tex]
Teraz zauważmy, że:
[tex]\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]
Zatem mamy:
[tex]\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3} +...+\frac{1}{24 \cdot 25} )=\frac{1}{4}(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{24}-\frac{1}{25} )=\frac{1}{4} \cdot (1-\frac{1}{25} )=\frac{1}{4} \cdot \frac{24}{25} =\frac{6}{25}[/tex]
