Rozwiązanie:
Założenie:
[tex]a,b,c \in \mathbb{R}_{+}[/tex]
Teza:
[tex]\frac{1}{\sqrt{ab} } +\frac{1}{\sqrt{ac} }+\frac{1}{\sqrt{bc} } \geq 2(\frac{1}{a+b} +\frac{1}{a+c} +\frac{1}{b+c} )[/tex]
Lemat:
Załóżmy, że [tex]x,y \in \mathbb{R}_{+}[/tex], pokażemy, że:
[tex]\frac{2}{x+y} \leq \frac{1}{\sqrt{xy} } \\\frac{2\sqrt{xy} }{x+y} \leq 1\\2\sqrt{xy} \leq x+y\\x-2\sqrt{xy} +y\geq 0\\(\sqrt{x}-\sqrt{y} )^{2} \geq 0[/tex]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
Teraz powróćmy do wyjściowej nierówności. Korzystając z lematu, możemy zapisać, że:
[tex]\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab} } \\\frac{2}{a+c} \leq \frac{1}{\sqrt{ac} } \\\frac{2}{b+c} \leq \frac{1}{\sqrt{bc} }[/tex]
Po dodaniu tych nierówności otrzymujemy:
[tex]\frac{1}{\sqrt{ab} } +\frac{1}{\sqrt{ac} }+\frac{1}{\sqrt{bc} } \geq \frac{2}{a+b} +\frac{2}{a+c} +\frac{2}{b+c}[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt{ab} } +\frac{1}{\sqrt{ac} }+\frac{1}{\sqrt{bc} } \geq 2(\frac{1}{a+b} +\frac{1}{a+c} +\frac{1}{b+c} )[/tex]
co kończy dowód.
