Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1.[/tex]
[tex]f(x)=\sqrt{3-x} - 3\sqrt{x+1}[/tex]
Dziedzina:
[tex]3-x\geq 0 \wedge x+1\geq 0\\x\leq 3 \wedge x\geq -1\\x \in \ <-1,3>[/tex]
Miejsca zerowe:
[tex]f(x)=0 \iff \sqrt{3-x} -3\sqrt{x+1} =0\\\sqrt{3-x}=3\sqrt{x+1} \\3-x=9(x+1)\\3-x=9x+9\\10x=-6\\x=-\frac{3}{5} \in D[/tex]
Zadanie [tex]2[/tex].
[tex]x^{2}+(2m-3)x+2m+5=0\\[/tex]
Mamy:
[tex]\Delta=(2m-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (2m+5)=4m^{2}-12m+9-8m-20=4m^{2}-20m-11[/tex]
[tex]\Delta=0 \iff 4m^{2}-20m-11=0\\\Delta_{m}=400-4 \cdot 4 \cdot (-11)=576 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=24\\m_{1}=\frac{20+24}{8}=\frac{11}{2}\\m_{2}=\frac{20-24}{8}=-\frac{1}{2}[/tex]
Zatem:
[tex]m \in \{-\frac{1}{2},\frac{11}{2} \}[/tex]
Zadanie [tex]3.[/tex]
[tex]a)[/tex]
[tex]x(4x-1)(6x-9)=0\\x =0 \vee x=\frac{1}{4} \vee x=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]x^{3}-7x^{2}+10x=0\\x(x^{2}-7x+10)=0\\x=0 \vee x^{2}-7x+10=0\\\Delta=49-4 \cdot 1 \cdot 10=9\\x_{1}=\frac{7+3}{2} =5\\x_{2}=\frac{7-3}{2}=2[/tex]
[tex]x \in \{0,2,5\}[/tex]
[tex]c)[/tex]
[tex]x^{4}-5x^{2}+4=0[/tex]
Niech [tex]t=x^{2}[/tex], gdzie [tex]t\geq 0[/tex] :
[tex]t^{2}-5t+4=0\\\Delta_{t}=25-4 \cdot 1 \cdot 4=9\\t_{1}=\frac{5+3}{2}=4\\t_{2}=\frac{5-3}{2}=1[/tex]
Wracamy z podstawienia:
[tex]x^{2}=4 \vee x^{2}=1\\x=-2 \vee x=2 \vee x=-1 \vee x=1[/tex]
[tex]d)[/tex]
[tex]\frac{x+4}{2x-1} -\frac{1}{x}=0[/tex]
Dziedzina:
[tex]x \in \mathbb{R}[/tex] \ [tex]\{0,\frac{1}{2}\}[/tex]
Rozwiązanie:
[tex](x+4)x-(2x-1)=0\\x^{2}+4x-2x+1=0\\x^{2}+2x+1=0\\(x+1)^{2}=0\\x=-1 \in D[/tex]
