a)
[tex]a=5^2=5\cdot5=25\\b=5^3=5\cdot5\cdit5=125\\\\25<125,\quad czyli\quad a<b\\\\\\c=2^3=2\cdot2\cdot2=8\\d=2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32\\\\8<32,\quad czyli\quad c<d\\\\\\e=1,4^2=1,4\cdot1,4 = 1,96\\f=1,4^3=1,4\cdot1,4 \cdot1,4=2,744\\\\1,96<2,744,\quad czyli\quad e<f[/tex]
[tex]g=\left(\frac15\right)^2=\left(\frac15\right)\cdot\left(\frac15\right)=\frac1{25}\\h=\left(\frac15\right)^3=\left(\frac15\right)\cdot\left(\frac15\right)\cdot\left(\frac15\right)=\frac1{125}\\\\\frac1{25}>\frac1{125}\,,\quad czyli\quad g>h[/tex]
[tex]i=\left(\frac12\right)^3=\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)=\frac1{8}\\j=\left(\frac12\right)^5=\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)\cdot\left(\frac12\right)=\frac1{32}\\\\\frac1{8}>\frac1{32}\,,\quad czyli\quad i>j[/tex]
[tex]k=\left(\frac52\right)^2=\left(\frac52\right)\cdot\left(\frac52\right)=\frac{25}4=6\frac14\\l=\left(\frac52\right)^3=\left(\frac52\right)\cdot\left(\frac52\right)\cdot\left(\frac52\right)=\frac{125}8=15\frac58\\\\6\frac14<15\frac58\,,\quad czyli\quad k<j\\\\\\m=0,1^2=0,1\cdot0,1=0,01\\n=0,1^3=0,1\cdot0,1\cdot0,1=0,001\\\\0,01>0,001,\quad czyli\quad m>n\\\\\\ o=0,2^3=0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,008\\p=0,2^4=0,2\cdot0,2\cdot0,2\cdot0,2=0,0016\\\\0,008>0,0016,\quad czyli\quad o>p[/tex]
Wniosek:
Jeśli potęgi mają jednakowe podstawy, to:
kiedy podstawy potęg są większe od 1 (5; 2; 1,4; ⁵/₂) to większa jest potęga o większym wykładniku,
kiedy podstawy potęg są mniejsze od 1 (¹/₅; ¹/₂; 0,1; 0,2) to większa jest potęga o mniejszym wykładniku,
b)
Każda para ma jednakowe podstawy potęg, więc nie musimy ich obliczać, żeby określić, która liczba w danej parze jest większa.
Korzystając z wniosku z ppkt a) mamy:
[tex]6>1\quad i \quad 5<7, \quad czyli\quad 6^5<6^7\\\\2,3>1\quad i \quad 9>4, \quad czyli\quad 2,3^9>2,3^4\\\\ \frac16<1\quad i \quad9>7,\quad czyli\quad \left(\frac16\right)^9<\left(\frac16\right)^7\\\\0,7<1\quad i\quad4<5,\quad czyli\quad0,7^4>0,7^5\\\\\left(\frac{15}7\right)>1\quad i \quad6<8,\quad czyli\quad \left(\frac{15}7\right)^6<\left(\frac{15}7\right)^8[/tex]
