Odpowiedź:
[tex]\mathrm{ln}(2)+\Sigma^\infty_{n=1}\bigg[\frac{-1}{n}\cdot \bigg(\frac{(-1)^n}{(-2)^n}+1\bigg)\cdot x^n\bigg][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Obliczmy kilka pochodnych funkcji [tex]f[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{1}{x-1} +\frac{1}{x-2}[/tex]
[tex]f''(x)=\frac{-1}{(x-1)^2} +\frac{-1}{(x-2)^2}[/tex]
[tex]f'''(x)=\frac{2}{(x-1)^3} +\frac{2}{(x-2)^3}[/tex]
[tex]f^{(4)}(x)=\frac{-6}{(x-1)^4} +\frac{-6}{(x-2)^4}[/tex]
Zauważamy, że:
[tex]f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot \bigg(\frac{(n-1)!}{(x-1)^n}+\frac{(n-1)!}{(x-2)^n} \bigg)[/tex]
Szereg Maclaurina zapiszemy jako:
[tex]\Sigma^\infty_{n=0}\bigg(\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n\bigg)[/tex]
przed wstawieniem do wzoru uprośćmy:
[tex]f^{(n)}(0)=\frac{-1}{n} \cdot n! \cdot \bigg(\frac{(-1)^n}{(-2)^n}+1\bigg)[/tex]
Więc nasza funkcja rozwinięta w szereg Maclaurina ma postać:
[tex]\Sigma^\infty_{n=0}\bigg[\frac{-1}{n}\cdot \bigg(\frac{(-1)^n}{(-2)^n}+1\bigg)\cdot x^n\bigg][/tex]
Oczywiście taki zapis będzie niepoprawny, gdyż nie możemy dzielić przez zero, w celu jego poprawienia, możemy wyraz [tex]n=0[/tex] zapisać przed sumą, jest to po prostu wartość funkcji wyjściowej dla [tex]x=0[/tex].
[tex]f(0)=\mathrm{ln}(2)[/tex]
Tak więc ostatecznie:
[tex]f(x)=\mathrm{ln}(2)+\Sigma^\infty_{n=1}\bigg[\frac{-1}{n}\cdot \bigg(\frac{(-1)^n}{(-2)^n}+1\bigg)\cdot x^n\bigg][/tex]
Oczywiście jest możliwy zapis w postaci jednej sumy, to kwestia przekształceń.
