Szczegółowe wyjaśnienie:
Przeanalizujmy lewą stronę tego równania.
Na początek wyznaczamy dziedzinę:
[tex]D=\bigg\{x\in\mathbb{R}:x\neq -4 \ \wedge \ x\neq 1\bigg\}[/tex]
Dokonajmy teraz rozkładu na ułamki proste wyrażenia po lewej stronie. W tym celu rozwiązujemy poniższe równanie.
[tex]\frac{5x}{(x+4)(x-1)} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+4}[/tex]
uzyskamy
[tex]5x=A(x+4)+B(x-1)[/tex]
Mimo wykluczeń w dziedzinie, możemy podstawić za zmienną [tex]x[/tex] dowolne wartości celem obliczenia współczynników [tex]A[/tex] oraz [tex]B[/tex], ponieważ dziedzina odwołuje się jedynie do mianowników, które na ten moment są nieistotne.
dla [tex]x=-4[/tex]
[tex]-20=0+B\cdot(-5)\\B=4[/tex]
dla [tex]x=1[/tex]
[tex]5=A\cdot5+0\\A=1[/tex]
tak więc:
[tex]\frac{5x}{(x+4)(x-1)} =\frac{1}{x-1} +\frac{4}{x+4}[/tex]
Zauważ teraz, że otrzymane przekształcenie jest równe stronie prawej:
[tex]\frac{1}{x-1} +\frac{4}{x+4}=\frac{4}{x+4}-\frac{1}{1-x}=P[/tex]
Tak więc dowiedliśmy, że [tex]L=P[/tex]. Oznacza to, że rozwiązaniem równania jest cała nasza dziedzina, czyli:
[tex]x\in\mathbb{R}:x\neq -4 \ \wedge \ x\neq 1[/tex]
