Rozwiązanie:
Ustalmy postać iloczynową wielomianu:
[tex]W(x)=a(x-2n)(x-2n-2)(x-2n-4)(x-2n-6)[/tex]
gdzie [tex]a,n \in \mathbb{Z}[/tex].
Ponadto ustalmy liczbę parzystą [tex]2k[/tex] dla [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]. Wówczas:
[tex]W(2k)=a(2k-2n)(2k-2n-2)(2k-2n-4)(2k-2n-6)=\\=16a(k-n)(k-n-1)(k-n-2)(k-n-3)[/tex]
Zatem wartość tego wielomianu na pewno jest podzielna przez [tex]16[/tex]. Dalej wystarczy zauważyć, że iloczyn [tex](k-n)(k-n-1)(k-n-2)(k-n-3)[/tex] to iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych, wśród których mamy na pewno jedną podzielną przez [tex]2[/tex] (nie liczę liczby podzielnej przez [tex]4[/tex]), jedną podzielną przez [tex]4[/tex] i jedną podzielną przez [tex]3[/tex]. To znaczy, że ten iloczyn jest podzielny przez [tex]2 \cdot 3 \cdot 4=24[/tex], a wartość całego wielomianu przez [tex]24 \cdot 16=384[/tex], co kończy dowód.
