Odpowiedź:
[tex]a>0 \\b>0\\a^{a-b} \geq b^{a-b} \\a^{a-b} -b^{a-b} \geq 0 / \sqrt[a-b]{} \\ a-b\geq 0[/tex]
Rozwiązanie:
Założenia:
[tex]a,b \in \mathbb{R}_{+}[/tex]
Teza:
[tex]a^{a-b}\geq b^{a-b}[/tex]
Rozważmy przypadki:
[tex]1^{\circ}[/tex] [tex]a\geq b[/tex]
Wówczas mamy:
[tex]a^{a-b}-b^{a-b}\geq 0\\a^{a-b}(1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} )\geq 0\\1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} \geq 0\\(\frac{b}{a})^{a-b} \leq 1 \iff \frac{b}{a}\leq 1 \iff a\geq b[/tex]
Zatem nierówność jest prawdziwa.
[tex]2^{\circ}[/tex] [tex]a\leq b[/tex]
[tex]a^{a-b}-b^{a-b}\geq 0\\a^{a-b}(1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} )\geq 0\\1-\frac{b^{a-b}}{a^{a-b}} \geq 0\\(\frac{b}{a})^{a-b}\leq 1 \iff (\frac{a}{b})^{b-a} \leq 1 \iff \frac{a}{b}\leq 1 \iff a\leq b[/tex]
Przy czym ostatnia przedostatnia równoważność wynika ze wzoru:
[tex]a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}[/tex]
Też otrzymujemy prawdę.
To dowodzi, że nierówność jest prawdziwa dla [tex]a,b \in \mathbb{R}_{+}[/tex].
