Rozwiązanie:
Zadanie [tex]3.[/tex]
[tex]y=\frac{5x^{2}}{x+2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x+2\neq 0\\x\neq -2[/tex]
Pochodna:
[tex]y'=\frac{10x(x+2)-5x^{2}}{(x+2)^{2}}=\frac{5x^{2}+20x}{(x+2)^{2}}[/tex]
Zerujemy pochodną:
[tex]y'=0 \iff 5x^{2}+20x=0\\x^{2}+4x=0\\x(x+4)=0\\x=0 \vee x=4[/tex]
Szkicujemy symboliczny wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0 \ dla \ (-\infty,-4) \cup (0,\infty)\\f'(x)<0 \ dla \ (-4,-2) \cup (-2,0)[/tex]
Stąd mamy monotoniczność funkcji:
Funkcja rośnie dla [tex]x \in (-\infty,-4> \ \cup <0,\infty)[/tex]
Funkcja maleje dla [tex]x \in \ <-4,-2) \cup (-2,0>[/tex]
Stąd mamy ekstrema funkcji:
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]x=-4[/tex], które wynosi:
[tex]f(-4)=-40[/tex]
Funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]x=0[/tex], które wynosi:
[tex]f(0)=0[/tex]
