Odpowiedź :
Odpowiedź:
Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej
f(x)=a(x-p)²+q
a)
y=x²-5x+3
a=1,b=-5,c=3
p=-b/2a
p=-(-5)/2*1=5/2=2,5
p=2,5
q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac
Δ= -5²-4*1*3=25-12=13
q= -13/4*1=-13/4= -3,25
y=(x-⁵/₂)²-¹³/₄
lub
y=(x-2,5)²-3,25
b)y=-2x²-3x+4
a=-2,b=-3,c=4
p=-b/2a
p=-3/4
q=-Δ/4a
Δ=b²-4ac
Δ=9-4*(-2)*4=41
q=-41/-8=5,125
y=-2(x+³/₄)²+⁴¹/₈
lub
y=-2(x+³/₄)²+5,125
Szczegółowe wyjaśnienie:
Witaj :)
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=a(x-p)^2+q}[/tex]
gdzie:
a - współczynnik kierunkowy
p,q - współrzędne wierzchołka paraboli
Aby obliczyć współrzędne wierzchołka korzystamy ze wzorów:
[tex]\Large \boxed{p=\frac{-b}{2a}}\\\\\\\Large \boxed{q=\frac{-\Delta}{4a}=f(p) }[/tex]
Przykład "a"
[tex]y=x^2-5x+3\\\\a=1\\\\b=-5\\\\c=3[/tex]
Obliczmy współrzędne wierzchołka:
[tex]\Large\boxed{p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-5)}{2\cdot 1}=\frac{5}{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a} =\frac{-((-5)^2-4\cdot1\cdot 3)}{4\cdot 1} =\frac{-(25-12)}{4} =-\frac{13}{4}}[/tex]Zatem postać kanoniczna naszej funkcji wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=1(x-\frac{5}{2} )^2-\frac{13}{4} }[/tex]
Przykład "b"
[tex]y=-2x^2-3x+4\\\\a=-2\\\\b=-3\\\\c=4[/tex]
Obliczmy współrzędne wierzchołka:
[tex]\Large\boxed{p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-3)}{2\cdot (-2)}=-\frac{3}{4} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ q=\frac{-\Delta}{4a}}\\\\\\\large\boxed{q=\frac{-(b^2-4ac)}{4a} =\frac{-((-3)^2-4\cdot(-2)\cdot 4)}{4\cdot (-2)} =\frac{-(9+32)}{-8} =-\frac{41}{-8}=\frac{41}{8} }[/tex]Zatem postać kanoniczna wygląda następująco:
[tex]\large \boxed{y=-2(x+\frac{3}{4})^2+\frac{41}{8} }[/tex]