Rozwiązanie:
Funkcje:
[tex]f(x)=sin^{3}x\\h(x)=cos^{3}x[/tex]
Proste:
[tex]x=0\\x=\frac{\pi }{4}[/tex]
Pożądane wykresy w załączniku.
Obszar całkowania:
[tex]D=\{((x,y) \in \mathbb{R}^{2}:0\leq x\leq \frac{\pi }{4} \wedge sin^{3}x\leq y\leq cos^{3}x\}[/tex]
Przyda się:
[tex]\int\limits {cos^{3}x} \, dx =\int\limits {cos^{2}xcosx} \, dx =\int\limits {(1-sin^{2})cosx} \, dx[/tex]
Podstawiamy [tex]t=sinx[/tex] :
[tex]\int\limits {(1-sin^{2})cosx} \, dx=\int\limits {(1-t^{2})} \, dt =t-\frac{1}{3}t^{3}=sinx-\frac{1}{3}sin^{3}x+C[/tex]
Podobnie jak wyżej otrzymamy:
[tex]\int\limits {sin^{3}x} \, dx =-cosx+\frac{1}{3}cos^{3}x+C[/tex]
Pole obszaru jest równe:
[tex]P_{D}=\int\limits^\frac{\pi }{4} _0 \int\limits^{cos^{3}x}_{sin^{3}x} dydx =\int\limits^\frac{\pi }{4} _0(\int\limits^{cos^{3}x}_{sin^{3}x}dy)dx=\int\limits^\frac{\pi }{4} _0 \ [y]^{cos^{3}x}_{sin^{3}x} \ dx=\int\limits^\frac{\pi }{4} _0 (cos^{3}x-sin^{3}x)dx=\int\limits^\frac{\pi }{4} _0 cos^{3}x \ dx-\int\limits^\frac{\pi }{4} _0 sin^{3}x \ dx=[sinx-\frac{1}{3}sin^{3}x ]^{\frac{\pi }{4} }_{0}-[-cosx+\frac{1}{3}cos^{3}x ]^{\frac{\pi }{4} }_{0}=\frac{5\sqrt{2}-4 }{6}[/tex]
