Rozwiązanie:
[tex]f(x)=-|4-x^{2}|[/tex]
Dziedzina:
[tex]D_{f}: x \in \mathbb{R}[/tex]
Rozważymy dwa przypadki:
[tex]1^{\circ}[/tex] :
[tex]4-x^{2}<0\\(2-x)(2+x)<0\\ x \in (-\infty,-2) \cup (2,\infty)[/tex]
[tex]2^{\circ}[/tex] :
[tex]4-x^{2}\geq 0\\(2-x)(2+x)\geq 0\\x \in \ <-2,2>[/tex]
Zatem wzór funkcji [tex]f[/tex] wygląda tak:
[tex]f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}4-x^{2} \ dla \ x \in (-\infty,-2) \cup (2, \infty)\\x^{2}-4 \ dla \ x \in \ <-2,2>\end{array}\right[/tex]
Ten wykres już łatwo narysować - odpowiedź w załączniku.
Po wykresie widać, że ta funkcja nie jest różnowartościowa. Przykład:
[tex]f(-2)=f(2)=0[/tex]
Funkcja działa w zbiór liczb rzeczywistych i na tym zbiorze nie jest surjekcją (funkcją "na").
Definicja obrazu:
Obrazem nazywamy zbiór wszystkich tych wartości, które funkcja przyjmuje dla każdego elementu danego podzbioru zawierającego się w jej dziedzinie.
Definicja przeciwobrazu:
Przeciwobrazem nazywamy zbiór wszystkich tych argumentów dziedziny funkcji, na których funkcja przyjmuje wartości w danym zbiorze.
Zatem:
[tex]f(<-2,2>)= \ <-4,0>\\f^{-1}(\{-12\})=\{-4,4\}[/tex]
