Odpowiedź:
[tex]D.[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ustalmy kąt pomiędzy bokami [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] jako [tex]\alpha[/tex] oraz [tex]x[/tex] jako długość trzeciego boku. Pole trójkąta jest wtedy równe:
[tex]P=\frac{1}{2}absin\alpha =\frac{1}{4}ab \Rightarrow sin\alpha =\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =30^{\circ} \vee \alpha =150^{\circ}[/tex]
Z twierdzenia cosinusów obliczamy długość trzeciego boku:
Dla [tex]\alpha =30^{\circ}[/tex] :
[tex]x^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(30^{\circ})\\x^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cdot \frac{\sqrt{3} }{2}\\x^{2}=a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab\\x=\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}[/tex]
Dla [tex]\alpha =150^{\circ}[/tex] :
[tex]x^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(150^{\circ})\\x^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab \cdot \frac{\sqrt{3} }{2}\\x^{2}=a^{2}+b^{2}+\sqrt{3}ab\\x=\sqrt{a^{2}+b^{2}+\sqrt{3}ab}[/tex]
To daje nam odpowiedź [tex]D[/tex].
