Odpowiedź :
Zadanie 12.
Założenie: [tex]k - 3 \in \mathbb{Z}[/tex]
[tex]\frac{\left( k - 3 \right - 1) \left( k - 3 \rigt)}{2} = \frac{\left( k - 4 \right) \left( k - 3 \right)}{2} =\frac{k^2 - 3k - 4k + 12}{2} = \frac{k^2 - 7k + 12}{2} = \frac{1}{2}k^2 - 3\frac{1}{2}k + 6[/tex]
Odp.: Suma algebraiczna połowy iloczynu dwu kolejnych liczb całkowitych, z których większa jest równa [tex]k - 3[/tex], to [tex]\frac{1}{2} k^2 - 3\frac{1}{2} k + 6[/tex].
Zadanie 13.
Założenie: [tex]x \in \mathbb{R}_+ \land y \in \mathbb{R}_+[/tex]
a)
[tex]Ob. = 2 \left( 4 + x \right) + 2 \cdot 6y = 8 + 2x + 12y\\P = \left( 4 + x \right) \cdot 6y =- 24y + 6xy[/tex]
Odp.: Obwód prostokąta o podanych długościach boków to [tex]2x + 12 y + 8[/tex], zaś jego pole to [tex]6xy - 24y\ \textup{j}^2[/tex].
b)
[tex]Ob. = 2 \left( \sqrt{5} - 2 \right) + 2 \left( 1 + \sqrt{5} \right) = 2\sqrt{5} - 4 + 2 + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} - 2\\P = \left( \sqrt{5} -2 \right) \left( 1 + \sqrt{5} \right) = \sqrt{5} + 5 - 2 - 2\sqrt{5} = -\sqrt{5} + 3[/tex]
Odp.: Obwód prostokąta o podanych długościach boków jest równy [tex]4\sqrt{5} - 2[/tex], a jego pole – [tex]3 - \sqrt{5}\ \textup{j}^2[/tex].
Zadanie 14.
Założenie: [tex]a \in \mathbb{R}_+ \land b \in \mathbb{R}_+ \land c \in \mathbb{R}_+[/tex]
[tex]Ob. = 28\ \textup{cm} = 2a + 2b\\\frac{a}{b} = \frac{3}{4} \\28\ \texup{cm} - 2b = 2a\\a = \frac{28\ \textup{cm} - 2b}{2} = 14\ \textup{cm} - b\\\frac{14\ \textup{cm} - b}{b} = \frac{3}{4} \\3b = 4 \left( 14\ \textup{cm} - b \right) = 56\ \textup{cm} - 4b\\7b = 56\ \textup{cm}\\b = \frac{56\ \textup{cm}}{7} = 8\ \textup{cm}\\a = 14\ \textup{cm}- 8\ \textup{cm} = 6\ \textup{cm}[/tex]
[tex]P = ab = 6\ \textup{cm} \cdot8\ \textup{cm} = 48\ \textup{cm}^2 \\c^2 = a^2 + b^2 = \left( 6\ \textup{cm} \right) ^2 + \left( 8\ \textup{cm} \right) ^ 2 = 36\ \textup{cm}^2 + 64\ \textup{cm}^2 = 100\ \textup{cm}^2 \\c = \sqrt{100\ \textup{cm}^2} = 10\ \textup{cm}[/tex]
Odp.: Pole tego prostokąta wynosi [tex]48\ \textup{cm}^2[/tex], a długość jego przekątnej – [tex]10\ \textup{cm}[/tex].
Zadanie 15.
Założenie: [tex]e \in \mathbb{e}_+ \land f \in \mathbb{R}_+ \land a \in \mathbb{R}_+[/tex]
[tex]P = \frac{ef}{2} = 16\ \textup{cm}^2\\\frac{e}{f} = \frac{1}{2} \implies f = 2e\\16\ \textup{cm}^2 = \frac{e \cdot 2e}{2} = \frac{2e^2}{2} = e^2\\e = \sqrt{16\ \textup{cm}^2} = 4\ \textup{cm} \\f = 2 \cdot 4\ \textup{cm} = 8\ \textup{cm}\\\left( \frac{e}{2} \right) ^2 + \left( \frac{f}{2} \right) ^2 = a^2\\[/tex]
[tex]\left(\frac{ 4\ \textup{cm}}{2} \right) ^2 + \left( \frac{8\ \textup{cm}}{2} \right) ^2 = \left( 2\ \textup{cm} \right) ^2 + \left( 4\ \textup{cm} \right)^2 = 4\ \textup{cm}^2 + 16\ \textup{cm}^2 = 20\ \textup{cm}^2 = a^2\\\\a = \sqrt{20\ \textup{cm}^2} = \sqrt{4 \cdot 5\ \textup{cm}^2} = 2\sqrt{5}\ \textup{cm}[/tex]
Odp.: Długość boku danego rombu jest równa [tex]2\sqrt{5}\ \textup{cm}}[/tex].
Zadanie 16.
[tex]5 + 6 + 9 = 20\\\frac{5}{20} \cdot 100 \% = \frac{25}{100} \cdot 100 \% = 25 \%\\\frac{6}{20} \cdot 100 \% = \frac{30}{100} \cdot 100 \% = 30 \%\\\frac{9}{20} \cdot 100 \% = \frac{45}{100} \cdot 100 \% = 45 \%[/tex]
Odp.: Jedno wnuczę otrzymało [tex]25 \%[/tex] otrzymanej kwoty, drugie – [tex]30 \%[/tex], zaś trzecie – [tex]45 \%[/tex].