Po pierwsze, nigdy nie możemy dzielić przez zero. Nie robi się tak i już. Dzieląc przez zero możesz udowodnić dowolną głupotę, jak na przykład, że 0 = 1. Nigdy nie dzielimy przez zero, więc cokolwiek, co leży w mianowniku dowolnego ułamka nigdy nie może się równać 0.
Po drugie, przez całe liceum/technikum obracamy się w obrębie liczb rzeczywistych, co nakłada na nas zawsze pewne ograniczenia. Na przykład - cokolwiek, co leży pod pierwiastkiem, nigdy nie może być ujemne. Zawsze będzie nam to ograniczać dziedzinę.
To teraz tylko te nasze ograniczenia zastosować:
d)
Czy mamy tu jakikolwiek ułamek? Tak. No to bierzemy na chama mianownik i patrzymy kiedy się równa zero, żeby wiedzieć, że takich przypadków mamy unikać. Czyli innymi słowy wywalić z dziedziny. I tak:
[tex](\sqrt{x} = 0 )<=> x = 0[/tex]
Wiadomo, że trzeba wywalić 0 z dziedziny zmiennej x.
Lecimy dalej - czy mamy jakiś pierwiastek? Mamy. No to bierzemy to, co jest pod pierwiastkiem i badamy kiedy to jest mniejsze od zera. Tak jak sprawdzaliśmy kiedy mianownik jest równy zero, żeby wywalić taki przypadek z dziedziny tak samo teraz patrzymy co mamy z tej dziedziny wywalić ze względu na to drugie ograniczenie. I tak:
[tex]x < 0[/tex]
Wszystkie "x", które są mniejsze od zera musimy wyrzucić z dziedziny. Ten sam przypadek możemy też rozpatrywać zadając sobie pytanie "Jakie x mi wejdą do dziedziny" zamiast rozpatrywać pytanie "Co mam wyrzucić z dziedziny?". Na jedno wychodzi, trzeba tylko pomyśleć na co się zdecydować i z głową korzystać z jednego, albo drugiego. W takim przypadku starczy obrócić znak nierówności i go poluzować, czyli zamiast ostrej nierówności dać nierówność nieostrą. Czyli:
[tex]x \geq 0[/tex].
Podsumowując podpunkt d):
Po pierwsze, x nie może być równy 0, bo dzielilibyśmy przez 0.
Po drugie, x nie może być mniejszy od 0, bo mielibyśmy pierwiastek z liczby ujemnej, a takiej liczby nie ma nigdzie wśród liczb rzeczywistych (spojler: wśród liczb zespolonych już tak).
Zatem ostateczna odpowiedź do tego podpunktu, to:
[tex]D = (0;\infty)[/tex]
Resztę podpunktów zrobię na to samo kopyto, tylko liczenia będzie trochę więcej. Ale myślenia tyle samo, algorytm ten sam, zasady te same. Nie będę zatem każdego tak skrupulatnie opisywał, bo nic tam nowego.
f)
Po pierwsze:
[tex]\sqrt{x+2} = 0\\x+2=0\\x = -2[/tex]
Po drugie:
[tex]x+2 \geq 0 <=> x \geq -2[/tex]
Zatem:
[tex]D = (-2;\infty)[/tex]
g)
Po pierwsze:
[tex]\sqrt{x-1}= 0\\x-1 = 0\\x = 1[/tex]
Po drugie:
[tex]\left \{ {{6-x \geq 0} \atop {x-1 \geq 0}} \right. \\\left \{ {{x \leq 6 } \atop {x \geq 1 }} \right.[/tex]
Zatem:
[tex]D = (1;6][/tex]
i)
Po pierwsze:
Tutaj w mianowniku przyda nam się trochę logicznego myślenia. Wykorzystamy fakt, że jeśli iloczyn jakichś rzeczy jest równy zero, to znaczy, że przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Wykorzystamy też wzór skróconego mnożenia. I tak:
[tex]((x^{2} -4)\sqrt{x+2} =0) <=>( (x^2 - 4) = 0 \quad \lor \quad \sqrt{x+2} = 0 )\\( x + 2 = 0 \quad \lor \quad x-2 = 0 \quad \lor \quad \sqrt{x+2} = 0 )\\( x + 2 = 0 \quad \lor \quad x-2 = 0 \quad \lor \quad x+2 = 0 )\\( x + 2 = 0 \quad \lor \quad x-2 = 0)\\( x = -2 \quad \lor \quad x = 2)[/tex]
I po drugie - powtórzę się *znów* - nic, co pod pierwiastkiem nie może być ujemne, więc:
[tex]\left \{ {{4-x \geq 0 } \atop {x+2 \geq 0 }} \right. \\\left \{ {{x \leq 4} \atop {x \geq 2}} \right.[/tex]
Zatem:
[tex]D = (2;4][/tex]
To tyle jeśli chodzi o to zadanie. Akurat tu nie uświadczysz takiej sytuacji, ale jeśli w jakimś przykładzie są logarytmy, to na nie też trzeba uważać, bo też definiują niektóre przypadki, które trzeba wywalać z dziedziny. Najważniejsze to sczaić co się wywala z dziedziny i dlaczego, potem to wywalić, poskładać do kupy kawałki tej "tasiemki", czyli osi liczb rzeczywistych, które Ci zostaną po tym jak powywalasz co musisz i masz odpowiedź do dowolnego podpunktu.
Szczęścia życzę i polecam się
