Satelita krążący wokół Ziemi po orbicie kołowej na wysokości h równej 230km nad powierzchnią Ziemi ma okres obiegu T równy 89min. Oblicz z tych danych masę Ziemi. (Odp.: M=6·10^24 kg).

[tex]h=230km=2,3 \cdot 10^{5} \ m\\T=89 \ min=5340 \ s\\G=6,67 \cdot 10^{-11} \ \frac{N \cdot m^{2}}{kg^{2}}\\R_{Z}=6371 \ km =6,371 \cdot 10^{6} \ m[/tex]

Szukane:

[tex]M_{Z}=?[/tex]

Wzór:

Skorzystamy z tego, że prędkość w ruchu orbitalnym musi być równa pierwszej prędkości kosmicznej, stąd:

[tex]\sqrt{\frac{GM_{Z}}{r} } =\frac{2\pi r}{T} \\\frac{GM_{Z}}{r} =\frac{4\pi ^{2}r^{2}}{T^{2}} \\M_{Z}=\frac{4\pi ^{2}r^{3}}{GT^{2}}[/tex]

gdzie:

[tex]r=R_{Z}+h[/tex]

Obliczenia:

[tex]M_{Z}=\frac{4 \cdot (3,14)^{2} \cdot (6,371 \cdot 10^{6}+2,3 \cdot 10^{5})^{3}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (5340)^{2}}=5,97 \cdot 10^{24} \ kg[/tex]

Basetlaviz Basetlaviz · Answer 2

[tex]dane:\\h = 230 \ m = 0,23\cdot10^{6} \ km\\R_{z} = 6 \ 370 \ km = 6,37\cdot10^{6} \ m \ - \ promien \ Ziemi\\r = R_{z} + h = (6,37+0,23)\cdot10^{6} m = 6,6\cdot10^{6} \ m\\T = 89 \ min = 89\cdot60 \ s = 5 \ 340 \ s = 5,34\cdot10 \ s\\G = 6,67\cdot10^{-11} \ \frac{Nm^{2}}{kg^{2}} \ - \ stala \ grawitacji\\szukane:\\M_{z} = ?[/tex]

Rozwiązanie:

Pomiędzy krążącym wokół Ziemi satelitą, a Ziemią działa siła grawitacji:

[tex]F_{g} = G\frac{M_{z}m}{r^{2}}[/tex]

Siła ta (w układzie związanym z Ziemią) pełni rolę siły dośrodkowej, której wartość można zapisć następująco:

[tex]F_{d} = m\omega^{2} r = m\frac{4\pi ^{2}}{T^{2}}r[/tex]

Satelita znajduje się na orbicie, więc:

[tex]F_{g} = F_{d}\\\\G\frac{M_{z}m}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r\\\\G\frac{M_{z}}{r^{2}} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r\\\\M_{z} = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}\\\\M_{z} = \frac{4\cdot3,14^{2}\cdot(6,6\cdot10^{6})^{3}}{6,67\cdot10^{-11}\cdot(5,34\cdot10^{3})^{2}} \ [kg]\\\\\underline{M_{z} = 59,7\cdot10^{23} \ kg \approx 6\cdot10^{24} \ kg}[/tex]