Rozwiązanie:
Równanie:
[tex]cosx \cdot |cosx|-sin^{2}x=|m|-2[/tex]
Założenie:
[tex]x \in \ <-\frac{3\pi}{2} ,2\pi >[/tex]
Rozpatrzmy dwa przypadki:
[tex]\textup{1.}[/tex]
[tex]x \in \ <-\frac{3\pi}{2} ,-\frac{\pi}{2}> \cup <\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} >[/tex]
Wówczas równanie wygląda tak:
[tex]cosx \cdot (-cosx)-sin^{2}x=|m|-2\\-cos^{2}x-sin^{2}x=|m|-2\\-(sin^{2}x+cos^{2}x)=|m|-2\\-1=|m|-2\\|m|=1 \iff m=-1 \vee m=1[/tex]
Dla takich wartości parametru [tex]m[/tex] równanie jest prawdziwe dla każdego [tex]x[/tex] z rozważanego przedziału. Dla jakiejkolwiek innej wartości równanie jest sprzeczne i nie ma rozwiązań.
[tex]2.[/tex]
[tex]x \in <-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}> \cup <\frac{3\pi}{2} ,2\pi >[/tex]
Wówczas równanie wygląda tak:
[tex]cosx \cdot cosx-sin^{2}x=|m|-2\\cos^{2}x-sin^{2}x=|m|-2\\cos2x=|m|-2[/tex]
Teraz wystarczy, że narysujemy wykres funkcji [tex]f(x)=cos2x[/tex] w zadanym przedziale i spojrzymy, kiedy równanie może posiadać trzy rozwiązania. Wykres w załączniku.
Widać, że taka sytuacja będzie mieć miejsce, gdy:
[tex]-1<|m|-2<1\\1<|m|<3\\|m|>1 \wedge |m|<3\\(m>1 \vee m<-1) \wedge (m<3 \wedge m>-3)\\m \in (-3,-1) \cup (1,3)[/tex]
Teraz uwzględniamy oba warunki i otrzymujemy odpowiedź:
[tex]m \in (-3,-1) \cup (1,3)[/tex]
