Odpowiedź natychmiastowa:
Wykorzystuję koncepcję trójkąta Sierpińskiego. Łącząc połowy boków otrzymam trójkąt równoboczny o 2 razy krótszym boku. Jeżeli powtórzę ten zabieg na każdym z mniejszych trójkątów (wysokość każdego z mniejszych trójkątów jest połową wysokości trójkąta ABC), otrzymam trójkąty dokładnie takie jak szukany KLM.
KLM ma boki 4 razy krótsze niż ABC, ergo:
[tex]S_{ABC}:S_{KLM}=16[/tex]
Odpowiedź długa:
Wprowadźmy współrzędne wierzchołków ABC
[tex]A=(0;0)\\B=(a;0)\\C=(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt3}{2})[/tex]
oraz spodków wysokości
[tex]X=(\frac{a}{2};0)\\Y=(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt3}{4})\\Z=(\frac{a}{4};\frac{a\sqrt3}{4})[/tex]
gdzie wykorzystałem własność, że wysokość jest w tym wypadku także symetralną boku
Można wyznaczyć współrzędne środków wysokości, są to odpowiednio:
[tex]K=(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt3}{4})\\L=(\frac{3a}{8};\frac{a\sqrt3}{8})\\M=(\frac{5a}{8};\frac{a\sqrt3}{8})[/tex]
widać stąd, że bok ma długość
[tex]|LM|=\frac{a}{4}[/tex]
i jest 4 razy krótszy od długości |AB|, co sprowadza nas do tego samego wniosku - stosunek pól ABC do KLM to 16:1
pozdrawiam
