Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych wierzchołkach:
[tex]P=\frac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})|[/tex]
[tex]A=(2,1)\\B=(-3,4)\\C=(0,-5)[/tex]
Zatem:
[tex]P=\frac{1}{2}| (-3-2)(-5-1)-(4-1)(0-2)|=\frac{1}{2}|30+6|=\frac{36}{2}=18[/tex]
Zadanie 2.
[tex]\textup{a)}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a_{5}=4\\a_{8}=19\end{array}\right[/tex]
[tex]-\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+4r=4\\a_{1}+7r=19\end{array}\right[/tex]
[tex]-3r=-15 \iff r=5[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}+4r=4\\r=5\end{array}\right[/tex]
[tex]a_{1}=4-4r=4-20=-16[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}=-16\\r=5\end{array}\right[/tex]
Wyraz ogólny:
[tex]a_{n}=a_{1}+(n-1)r=-16+(n-1)5=5n-21[/tex]
[tex]\textup{b)}[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a_{4}=5\\a_{6}=45\end{array}\right[/tex]
[tex]:\left\{\begin{array}{ccc}a_{1}q^{3}=5\\a_{1}q^{5}=45\end{array}\right[/tex]
[tex]\frac{1}{q^{2}}=\frac{1}{9} } \iff q=-3 \vee q=3[/tex]
[tex]a_{1}=\frac{5}{q^{3}} \Rightarrow a_{1}=-\frac{5}{27} \vee a_{1}=\frac{5}{27}[/tex]
Wyraz ogólny:
[tex]a_{n}=a_{1}q^{n-1}\\a_{n}=-\frac{5}{27} \cdot (-3)^{n-1} \vee a_{n}=\frac{5}{27} \cdot 3^{n-1}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]f(x)=-3(x+4)^{2}-5[/tex]
Oś symetrii:
[tex]x=-4[/tex]
Zbiór wartości:
[tex]Y=(-\infty,-5>[/tex]
Monotoniczność:
[tex]f(x)[/tex] rośnie dla [tex]x \in (-\infty,-4>[/tex]
[tex]f(x)[/tex] maleje dla [tex]x \in <-4,\infty)[/tex]
