Odpowiedź:
A
Szczegółowe wyjaśnienie:
Objętość sześcianu: Vs = a³
Objętość graniastosłupa: Vg = Pp·h
h = a {bo wszystkie krawędzie są równe a, a krawędź boczna graniastosłupa prostego jest jego wysokością.
Objętość sześcianu jest dwa razy większa od objętości tego graniastosłupa, czyli:
[tex]\bold{ V_s=2V_g}[/tex]
A.
Pole podstawy jest rombem, w którym podano wysokość i długość boku czyli pole możemy policzyć jak pole równoległoboku:
[tex]P_p=a\cdot\frac a2\\\\V_g=a\cdot\frac a2\cdot a=\frac12a^3[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{a^3=2\cdot\frac12a^3}\\\\\bold{a^3=a^3}[/tex]
Czyli jest to prawda dla dowolnego a.
B.
Pole podstawy jest rombem, w którym podano połowy długości przekątnych.
Pole rombu liczone z przekątnych: [tex]P=\frac12d_1d_2[/tex]
[tex]d_1=2\cdot\frac{a\sqrt3}2=a\sqrt3\\\\d_2=2\cdot\frac{a}2=a\\\\ P_p=\frac12\cdot a\sqrt3\cdot a\\\\V_g=\frac12\cdot a\sqrt3\cdot a\cdot a=\frac{\sqrt3}2a^3[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{a^3=2\cdot\frac{\sqrt3}2a^3}\\\\\bold{a^3=\sqrt3\,a^3}[/tex]
Równość jest prawdziwa wyłącznie dla a=0, czyli nie istnieje taki graniastosłup.
C.
Pole podstawy jest rombem, czyli równoległobokiem, zatem:
[tex]P_p=a\cdot\frac {a\sqrt3}2\\\\V_g=a\cdot\frac {a\sqrt3}2\cdot a=\frac12\sqrt3\,a^3[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{a^3=2\cdot\frac12\sqrt3\,a^3}\\\\\bold{a^3=\sqrt3\,a^3}[/tex]
Równość jest prawdziwa wyłącznie dla a=0, czyli nie istnieje taki graniastosłup.
D.
Pole podstawy jest rombem, w którym podano połowy długości przekątnych.
Pole rombu liczone z przekątnych: [tex]P=\frac12d_1d_2[/tex]
[tex]d_1=2\cdot\frac23a\sqrt2=\frac43a\sqrt2\\\\d_2=2\cdot\frac{a}3=\frac23a\\\\ P_p=\frac12\cdot \frac43a\sqrt2\cdot\frac23 a\\\\V_g=\frac12\cdot \frac43a\sqrt2\cdot\frac23 a\cdot a=\frac{4\sqrt2}9\,a^3[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{a^3=2\cdot\frac{4\sqrt2}9a^3}\\\\\bold{a^3=\frac89\sqrt2\,a^3}[/tex]
Równość jest prawdziwa wyłącznie dla a=0, czyli nie istnieje taki graniastosłup.
