Rozwiązanie:
[tex]2y^{2}+xy-x^{2}=35\\y^{2}+xy+y^{2}-x^{2}=35\\y(x+y)+(y-x)(x+y)=35\\(x+y)(y+y-x)=35\\(x+y)(2y-x)=35[/tex]
Zauważamy, że:
[tex]35=1 \cdot 35\\35=5 \cdot 7\\35= (-1) \cdot (-35)\\35=(-5) \cdot (-7)[/tex]
(+ przypadki symetryczne)
Teraz należy rozwiązać kilka układów równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=1\\2y-x=35\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=5\\2y-x=7\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x+y=-1\\2y-x=-35\\\end{array}\right[/tex]
[...]
Jest to dość proste, gdyż wystarczy dodawać je stronami i kolejno wyznaczać zmienne.
Gdy je rozwiążemy i uwzględnimy założenia, to otrzymamy trzy możliwości:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=1\\y=4\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=3\\y=4\\\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=23\\y=12\\\end{array}\right[/tex]
Zatem szukanymi parami liczb są [tex](x,y)=(1,4) \vee (3,4) \vee (23,12)[/tex].
