[tex] \frac{ {a}^{2} + 1}{ {( {a}^{2} + 2) }^{2} } = \frac{1}{8} [/tex]
[tex]8( {a}^{2} + 1) = {( {a}^{2} + 2)}^{2} [/tex]
[tex]8 {a}^{2} + 8 = {a}^{4} + 4 {a}^{2} + 4[/tex]
[tex] {a}^{4} - 4 {a}^{2} - 4 = 0[/tex]
Założenie:
[tex] {a}^{2} = t[/tex]
[tex] {a}^{4} = {t}^{2} [/tex]
[tex]t \geqslant 0[/tex]
I teraz podstawiamy tą literkę t:
[tex] {t}^{2} - 4t - 4 = 0[/tex]
I rozwiązujemy jak zwykle równanie kwadratowe, liczymy deltę:
Δ=16+16=32
pierwiastek z Δ to 4 pierwiastki z 2
[tex]t1 = \frac{4 - 4 \sqrt{2} }{2} = 2 - 2 \sqrt{2} < 0 \: \: \: \: t \: nie \: nalezy[/tex]
[tex]t2 = \frac{4 + 4 \sqrt{2} }{2} = 2 + 2 \sqrt{2} > 0 \: \: \: \: \: t \: nalezy[/tex]
Czyli;
[tex] {a}^{2} = 2 + 2 \sqrt{2} [/tex]
I teraz podstawiamy a² i liczymy wartość wyrażenia pod M, jak widzimy nie musimy obliczać a, gdyż w wyrażeniu M mamy tylko a2 i a4.
[tex]m = \frac{{(2 + 2 \sqrt{2)} }^{2} }{ {(2 + 2 \sqrt{2 + 2)} }^{2} } = \frac{4 + 8 \sqrt{2} + 8 }{ {(4 + 2 \sqrt{2)} }^{2} } = \frac{12 + 8 \sqrt{2} }{16 + 16 \sqrt{2} + 8 } = \frac{12 + 8 \sqrt{2} }{24 + 16 \sqrt{2} } = \frac{12 + 8 \sqrt{2} }{2(12 + 8 \sqrt{2}) } = \frac{1}{2} [/tex]
Odp. Wartość wyrażenia M jest równa ½.
Mam nadzieję, że pomogłam! ❤️
