Do poszczególnych podpunktów następujące odpowiedzi są poprawne: a) [tex]-\frac{1}{8}[/tex], b) 7, c)1, d) [tex]\frac{1}{4}[/tex].
Działania na logarytmach
Podczas rozwiązywania zadań z logarytmami korzystamy z pewnych wzorów. Możemy je przedstawić przy założeniach, że [tex]a > 0,a\neq1,b > 0,c > 0[/tex]:
- [tex]\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(b*c)}[/tex]
- [tex]\log_{a}{b}-\log_{a}{c}=\log_{a}{(\frac{b}{c})}[/tex]
- [tex]\log_{a}{b}^n=n*\log_{a}{b}[/tex]
- [tex]\log_{a^n}{b}=\frac{1}{n}*\log_{a}{b}[/tex]
- [tex]\log_{a}{a}=1[/tex]
Przypomnimy sobie jeszcze wzór skróconego mnożenia który przyda nam się w zadaniu:
[tex]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/tex].
Szczegółowe obliczenia:
a) [tex](\log0,08+3\log0,5)^{-3}=(\log{\frac{8}{100}}+\log{\frac{5}{10}^3})^{-3}=(\log{(\frac{8}{100}*\frac{125}{1000})})^{-3}=(\log{\frac{1}{100}})^{-3}=(\log{10^{-2}})^{-3}=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}[/tex]
b) [tex]7^{2+\log_{4}{0,25}}=7^{2+\log_{4}{\frac{1}{4}}}=7^{2+\log_{4}{4^{-1}}}=7^{2-1}=7^1=7[/tex]
c) [tex]\log_{3}{0,375}-\log_{3}{\frac{1}{8}}=\log_{3}{\frac{375}{1000}}-\log_{3}{\frac{1}{8}}=\log_{3}{(\frac{375}{1000}:\frac{1}{8})}=\log_{3}{(\frac{375}{1000}*8)}=\log_{3}{3}=1[/tex]
d) [tex]\log_{4}^{2}{3}-\log_{4}{9}*\log_{4}{6}+\log_{4}{6}=(\log_{4}{3})^{2}-\log_{4}{3^2}*\log_{4}{6}+(\log_{4}{6})^2=(\log_{4}{3})^{2}-2*\log_{4}{3}*\log_{4}{6}+(\log_{4}{6})^2=(\log_{4}{3}-\log_{4}{6})^2=(\log_{4}{\frac{3}{6}})^2=(\log_{2^2}{\frac{1}{2}})^2=(\frac{1}{2}*\log_{2}{2^{-1}})^2=(\frac{1}{2}*(-1))^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}[/tex]
