Cześć!
Założenia:
[tex]0<x<y<z[/tex]
[tex]p = \frac{x+y}{2}\\\\q=\frac{x+z}{2}\\\\r = \frac{y+z}{2}[/tex]
Teza:
[tex](\frac{p+q}{2} - r)(\frac{q+r}{2}-p)<0[/tex]
Dowód:
Podstawmy nasze wartości p,q,r, które zostały nam dane w założeniach:
[tex](\frac{p+q}{2} - r)(\frac{q+r}{2}-p) = (\dfrac{\frac{x+y}{2} +\frac{x+z}{2}}{2}-\frac{y+z}{2})(\dfrac{\frac{x+z}{2}+\frac{y+z}{2}}{2}}-\frac{x+y}{2}}) =\\\\(\dfrac{\frac{x+y+x+z}{2}}{2}-\frac{y+z}{2})(\dfrac{\frac{x+z+y+z}{2}}{2}-\frac{x+y}{2}) = (\dfrac{\frac{2x+y+z}{2}-\frac{2y+2z}{2}}{2})(\dfrac{\frac{2z+x+y}{2}-\frac{2x+2y}{2}}{2}) = \\\\(\dfrac{\frac{2x+y+z-2y-2z}{2}}{2})(\dfrac{\frac{2z+x+y-2x-2y}{2}}{2}) = (\frac{2x-y-z}{4})(\frac{2z-x-y}{4})[/tex]
Przekształćmy założenie:
[tex]0<x<y<z \ | \cdot 2\\\\0<2x<2y<2z \ | -y-z\\\\-y-z<2x-y-z<y-z<z-y[/tex]
Stąd wiemy, że na pewno wartość licznika pierwszego ułamka będzie ujemna, bo już samo w sobie [tex]y-z<0[/tex], gdyż z założenia początkowego wiadomo, że [tex]y<z[/tex]. Ujemna liczba podzielona przez dodatnią (4) da ujemny wynik.
Z drugiej strony:
[tex]0<x<y<z \ | \cdot 2\\\\0<2x<2y<2z \ |-x-y\\\\-x-y<x-y <y-x<2z-x-y[/tex]
Tutaj zaś wiemy, że wartość licznika drugiego ułamka będzie dodatnia, ponieważ nierówność udowadnia, że jest większa od [tex]y-x[/tex], co jest dodatnie na mocy założenia początkowego, że [tex]x<y[/tex]. Dodatnia liczba podzielona przez dodatnią liczbę (4) da nam dodatni wynik.
Podsumowując, iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej zawsze będzie ujemny, co kończy dowód, na mocy którego wykazaliśmy, że [tex](\frac{2x-y-z}{4})(\frac{2z-x-y}{4})<0[/tex], a w efekcie prawdziwa jest teza [tex](\frac{p+q}{2} - r)(\frac{q+r}{2}-p)<0[/tex]
Pozdrawiam!
