Cześć!
Rozważymy też metodę rozwiązania z użyciem drzewka.
Jeżeli w tej klasie jest [tex]x[/tex] chłopaków, to dziewczyn będzie [tex]x+40\%x = x+0,4x = 1,4x[/tex]. Wówczas cała klasa liczy [tex]x+1,4x=2,4x[/tex] uczniów. Zakładamy, że [tex]x>0 ~~ \wedge~~ x \in \mathbb{N}[/tex], ponieważ wiemy, że w tej klasie są jacyś chłopcy.
Wybieramy dwuosobową delegację spośród [tex]2,4x[/tex] uczniów. Jak wspominałem, rozwiążemy zadanie za pomocą drzewka. Rozpatrujemy dwa przypadki:
- Wpierw wylosujemy chłopaka, prawdopodobieństwo tego zdarzenia to dokładnie [tex]\frac{x}{2,4x}[/tex]
- Wpierw wylosujemy dziewczynę, prawdopodobieństwo tego zdarzenia to dokładnie [tex]\frac{1,4x}{2,4x}[/tex]
Co po pierwszym losowaniu? Pamiętamy, że chcemy, aby nasza delegacja składała się z chłopca i dziewczynki, zatem:
- W przypadku pierwszym, jeżeli wylosowaliśmy chłopaka, to teraz musimy wylosować dziewczynę. Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny jako drugą osobę do delegacji wynosi [tex]\frac{1,4x}{2,4x-1}[/tex] (odejmujemy jeden od liczby wszystkich uczniów, bo zabraliśmy już jednego). Prawdopodobieństwo wylosowania chłopaka drugi raz nie sprzyja naszym założeniem, zatem gałąź oznaczmy jako 0.
- W przypadku drugim, jeżeli wylosowaliśmy dziewczynę, to teraz musimy wylosować chłopaka. Prawdopodobieństwo wylosowania chłopaka jako drugą osobę do delegacji wynosi [tex]\frac{x}{2,4x-1}[/tex] (odejmujemy jeden od liczby wszystkich uczniów, bo zabraliśmy już jednego). Prawdopodobieństwo wylosowania dziewczyny drugi raz nie sprzyja naszym założeniem, zatem gałąź oznaczmy jako 0.
Interesujące nas gałęzie zaznaczyłem na schemacie kolorem czerwonym.
Teraz wystarczy obliczyć prawdopodobieństwo, mnożąc wartości na tych samych gałęziach (tzn. wychodzących ze wspólnego początku). Jeżeli zdarzenie [tex]A[/tex] polega na wylosowaniu delegacji dwuosobowej, składającej się z chłopaka i dziewczyny, to:
[tex]P(A)=\frac{x}{2,4x} \cdot \frac{1,4x}{2,4x-1} + \frac{1,4x}{2,4x} \cdot \frac{x}{2,4x-1} = \frac{x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)} + \frac{x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)} =\\\\ 2 \cdot \frac{x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)}[/tex]
Ale my wiemy z drugiej strony, że [tex]P(A)=\frac{1}{2}[/tex], zatem przyrównując równości stronami:
[tex]2 \cdot \frac{x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)} = \frac{1}{2}\\\\\frac{4\cdot x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)}=1[/tex]
Zakładamy, że
[tex]2,4x(2,4x-1)\not = 0 \Longrightarrow 2,4x \not = 0 ~~~ \vee ~~2,4x-1\not = 0 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x \not = 0 ~~~ \vee ~~~~~~~2,4x\not = 1\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~\ ~x \not = \frac{1}{2,4} \not \in \mathbb{N}[/tex]
Oba te założenia zostały uzasadnione na początku - przypomnijmy, że [tex]x>0~~ \wedge ~~ x \in \mathbb{N}[/tex].
Rozwiązując dalej:
[tex]\frac{4\cdot x\cdot 1,4x}{2,4x(2,4x-1)}=1 \iff 4\cdot x \cdot 1,4x = 2,4x(2,4x-1) \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff 5,6x^2 = 5,76x^2-2,4x \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff -0,16x^2+2,4x=0 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff x(-0,16x+2,4)=0\iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff x=0 \notin \mathrm{D}~~ \vee ~~ -0,16x+2,4=0 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-0,16x=-2,4\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=15 \in \mathrm{D}[/tex]
Zatem skoro wiemy, że jest 15 chłopaków w klasie, to żadnym problemem jest podstawić [tex]x=15[/tex] do wyrażenia [tex]2,4x[/tex], które określało ilość uczniów całej klasy: [tex]2,4x \Longrightarrow 2,4 \cdot 15 = 36[/tex]
Odp. C
Pozdrawiam!
