Witaj :)
Rozpatrzmy podany przez Ciebie przykład:
[tex]\huge \boxed{W(x)=x^2-6x+9}[/tex]
Jest to wielomian stopnia drugiego, bo najwyższa potęga tego wielomianu wynosi 2. Zapiszmy go jako funkcję y=f(x)
[tex]y=x^2-6x+9[/tex]
Postać ogólna funkcji kwadratowej określona jest wzorem:
[tex]y=ax^2+bx+c,\ gdzie:\ a\neq 0\ oraz\ a,b,c\in R[/tex]
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej w zależności od wartości wyznacznika trójmianu kwadratowego (delty) przyjmuje postać:
- Przypadek I - [tex]\Delta >0[/tex] mamy dwa miejsca zerowe
[tex]\boxed {y=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex]
gdzie a - współczynnik kierunkowy, x₁ i x₂ -miejsca zerowe funkcji.
- Przypadek II - [tex]\Delta =0[/tex] mamy jedno miejsce zerowe
[tex]\boxed {y=a(x-x_0)^2}[/tex]
- Przypadek III - [tex]\Delta < 0[/tex] brak miejsc zerowych w R
W tym przypadku nie mamy pierwiastków rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, więc postać iloczynowa nie istnieje.
Zajmijmy się naszym przykładem. Aby z postaci ogólnej przejść na postać iloczynową należy w pierwszej kolejności obliczyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę):
[tex]W(x) = x^2-6x+9\\\\a=1\\\\b=-6\\\\c= 9\\\\\Delta = b^2-4ac= (-6)^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0 \\\\\Delta = 0\ mamy\ jedno\ rozwiazanie\\\\x_0 = -\frac{b}{2a} =\frac{-(-6)}{2\cdot 1} =\frac{6}{2}=3[/tex]
Korzystamy ze wzoru z przypadku II:
[tex]W(x)=a(x-x_0)^2\\\\W(x)=1(x-3)^2\\\\W(x)=(x-3)^2[/tex]postać iloczynowa wielomianu
Aby z postaci iloczynowej przejść na postać ogólną, należy w tym przypadku skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\\\W(x)=(x-3)^2=x^2-2\cdot x \cdot 3+ 3^2=x^2-6x+9[/tex] postać ogólna wielomianu
Jak widzimy otrzymaliśmy postać ogólną wielomianu z naszego przykładu.
