Rozwiązanie:
[tex]a\geq 0, b\geq 0[/tex]
W zasadzie moglibyśmy od razu napisać, że podana nierówność jest prawdziwa, bo wynika z nierówności pomiędzy średnimi - arytmetyczną, a geometryczną.
Przekształćmy równoważnie podaną nierówność:
[tex]\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \\2\sqrt{ab} \leq a+b\\a-2\sqrt{ab} +b\geq 0\\(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0[/tex]
Lewa strona jest kwadratem liczby rzeczywistej, który jest zawsze nieujemny, co kończy dowód.
