Rozwiązanie pierwszego równania to [tex]x=k\pi,k\in\mathbb{Z}[/tex], rozwiązanie drugiego równania to zbiór [tex]x\in\{-\frac{3}{2}\pi+2k\pi,-\frac{\pi}{4}+2k\pi,2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi,\pi+2k\pi,\frac{3}{2}\pi+2k\pi\},k\in\mathbb{Z}[/tex].
Wzory trygonometryczne
Do rozwiazywania równań trygonometrycznych często stosujemy wzory trygonometryczne. Przypomnijmy dwa wzory, które przydadzą nam się w zadaniu:
- [tex]\sin^2{x}+\cos^2x=1[/tex] - jedynka trygonometryczna,
- [tex]sin{2x}=\frac{2\tan{x}}{1+tan^2{x}}=2\sin{x}\cos{x}[/tex].
Zadanie 1
[tex](1-\tan{x})(1+\sin{2x})=1+\tan{x}\\(1-tan{x})(1+\frac{2\tan{x}}{1+\tan^2{x}})=1+\tan{x}\\(1-\tan{x})*\frac{\tan^2{x}+2\tan{x}+1}{1+\tan^2{x}}=1+\tan{x}\\\frac{(1-\tan{x})(1+\tan{x})^2}{1+\tan^2{x}}=1+\tan{x}\\\frac{(1-\tan{x})(1+\tan{x})}{1+\tan^2{x}}=1\\1-\tan^2{x}=1+\tan^2{x}\\2\tan^2{x}=0\\\tan^2{x}=0\\\tan{x}=0\\x=k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex]
gdzie [tex]\mathbb{Z}[/tex] to zbiór liczb całkowitych.
Zadanie 2
Najpierw musimy wyznaczyć dziedzinę równania. Po lewej stronie w mianowniku nie możemy dostać wartości równej 0, zatem:
[tex]\cos{x}\neq0\\x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex]
Możemy teraz przystąpić do rozwiązywania równania:
[tex]\frac{4\cos{x}-\sin{2x}}{\cos{x}}=4\cos^2{x}\\\frac{4\cos{x}-2\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}}=4\cos^2{x}[/tex]
Wyznaczymy [tex]\sin{x}[/tex] z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\\\sin^2{x}=1-\cos^2{x}\\\sin{x}=\sqrt{1-\cos^2{x}}[/tex]
Podstawiamy wyznaczoną wartość do równania i wymnażamy obie strony przez [tex]\cos{x}[/tex] (możemy to zrobić, bo wykluczyliśmy wartości [tex]x[/tex], dla których [tex]\cos{x}=0[/tex]):
[tex]4\cos{x}-2\sqrt{1-\cos^2{x}}\cos{x}=4\cos^3{x}\\\cos{x}(4-2\sqrt{1-\cos^2{x}})=4\cos^3{x}\\4-2\sqrt{1-\cos^2{x}}=4\cos^2{x}\\2-\sqrt{1-\cos^2{x}}=2\cos^2{x}\\2-2\cos^2{x}=\sqrt{1-\cos^2{x}}\\4-8\cos^2{x}+4\cos^4{x}=1-\cos^2{x}\\4\cos^4{x}-7\cos^2{x}+3=0[/tex]
Wykonujemy podstawienie: [tex]\cos^2{x}=t, t\in(0,1][/tex]. Dostajemy równanie kwadratowe postaci:
[tex]4t^2-7t+3=0\\\Delta=b^2-4ac=49-48=1\\\sqrt{\Delta}=1\\t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7-1}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\\t_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{7+1}{8}=\frac{8}{8}=1[/tex]
Wracamy do podstawienia:
[tex]1^o\cos^2{x}=\frac{3}{4} \vee 2^o\cos^2{x}=1[/tex]
Rozwiążmy pierwszy przypadek:
[tex]1^o \cos^2{x}=\frac{3}{4}\\\cos{x}=\frac{\sqrt{3}}{2} \vee \cos{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi \vee x=-\frac{3}{2}\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex]
Przejdźmy do przypadku drugiego:
[tex]2^o \cos^2{x}=1\\\cos{x}=1 \vee \cos{x}=-1\\x=2k\pi \vee z=\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex]
Ostatecznie rozwiązanie tego równania ma postać:
[tex]x\in\{-\frac{3}{2}+2k\pi,-\frac{\pi}{4}+2k\pi,2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi,\pi+2k\pi,\frac{3}{2}\pi+2k\pi\}, k\in\mathbb{Z}[/tex], gdzie [tex]\mathbb{Z}[/tex] to zbiór liczb całkowitych.
