Odpowiedź:
[tex]f_{max}=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3} }{2}\\f_{min}=\frac{\pi }{4}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=x+cos2x\\D_{f}=\{x \in \mathbb{R}: 0\leq x\leq \frac{\pi}{4}\}[/tex]
Obliczmy pochodną tej funkcji:
[tex]f'(x)=1-2sin2x[/tex]
Zerujemy ją:
[tex]f'(x)=0 \iff 1-2sin2x=0\\sin2x=\frac{1}{2} \\2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee 2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \\x= \frac{\pi }{12}+k\pi \vee x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \\x=\frac{\pi }{12}[/tex]
Narysujmy wykres funkcji pochodnej (załącznik) - nie jest to trudne. Mamy:
[tex]f'(x)>0 \ dla \ x \in (0,\frac{\pi }{12})\\f'(x)=0 \ dla \ x=\frac{\pi}{12} \\f'(x)<0 \ dla \ x \in (\frac{\pi}{12},\frac{\pi }{4})[/tex]
Stąd:
[tex]f(x)[/tex] rośnie [tex]\ dla \ x \in <0,\frac{\pi }{12}>[/tex]
[tex]f(x)[/tex] maleje [tex]\ dla \ x \in <\frac{\pi}{12},\frac{\pi }{4}>[/tex]
Zatem funkcja [tex]f[/tex] przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]x=\frac{\pi }{12}[/tex] i wynosi ono:
[tex]f(\frac{\pi}{12}) =\frac{\pi}{12}+cos(\frac{\pi}{6} )=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale znajduje się na którymś z krańców przedziału (w rozważanym przedziale nie ma drugiego ekstremum, co wynika z wykresu pochodnej). Mamy:
[tex]f(0)=cos(0)=1\\f(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{4}+cos(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{4}[/tex]
Zatem [tex]f(0)>f(\frac{\pi}{4} )[/tex].
