Cześć ;-)
Przy równaniach wymiernych, gdy niewiadome pojawiają się w mianowniku, należy założyć, że wartość mianownika nie może być równa 0. Zatem
2 - x ≠ 0 → x ≠ 2
Teraz mnożymy sobie na krzyż i rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą
2(x - 3) = 2 - x
2x - 6 = 2 - x
2x + x = 2 + 6
3x = 8 / : 3
x = 2 i 1/3
Pozdrawiam! ~ JulkaOdMatmy
Odpowiedź
[tex]x = \dfrac 8 3[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Rozwiązywanie równania (każdego równania)
[tex]\displaystyle \dfrac{x-3}{2-x} = \frac{1}{2}[/tex]
rozpoczyna się od wyznaczenia dziedziny równania [tex]D[/tex], czyli największego podzbioru liczb rzeczywistych [tex]\mathbb R[/tex], dla którego równanie ma sens.
W przypadku powyższego równania
[tex]D = \mathbb R \setminus \{2\}[/tex]
czyli zmienna [tex]x[/tex] może przyjmować dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych z wyjątkiem wartości 2. Jest tak ponieważ dla [tex]x = 2[/tex] byłoby dzielenie przez zero, a dzielenie przez zero jest niekreślone (niemożliwe).
Kolejne kroki to sprowadzenie równania do prostszej postaci. Na początek pomnożenie obu stron równania przez [tex]2 - x[/tex] aby uzyskać normalne równanie liniowe
[tex]\begin{array}{rcl}\dfrac{x-3}{2-x} \!\!\! &=& \!\!\! \dfrac 1 2 \\\\\dfrac{x-3}{2-x} \cdot (2 - x) \!\!\! &=& \!\!\! \dfrac 1 2 \cdot (2 - x)\\\\x - 3 \!\!\! &=& \!\!\! 1 - \dfrac x 2\end{array}[/tex].
Następnie przeniesienie wyrazów zawierających niewiadomą [tex]x[/tex] na jedną stronę, a wyrazów bez niewiadomej na drugą stronę. (Zwykle wyrazy z niewiadomą przenosi się na lewą stronę.)
[tex]\displaystyle ~x - 3 = 1 - \dfrac x 2\\\\\displaystyle x + \dfrac x 2 = 1 + 3[/tex]
Ostatnim etapem jest wykonanie działań (uproszczenie wyrażeń po obu stronach). Jeżeli okaże się, że zmienna [tex]x[/tex] jest pomnożona przez jakąś liczbę, to dodatkowo dzieli się obie strony równania przez tę liczbę aby otrzymać wartość zmiennej
[tex]\displaystyle \, x + \dfrac x 2 = 1 + 3\\\\\displaystyle ~~~~~\: \dfrac {3x} 2 = 4\\\\\displaystyle \dfrac {3x} 2 : \dfrac 3 2= 4 : \dfrac 3 2\\\\\displaystyle \dfrac {3x} 2 \cdot \dfrac 2 3= 4 \cdot \dfrac 2 3\\\\\displaystyle ~~~~~~~~ x = \dfrac 8 3[/tex].
Pozostaje sprawdzenie, czy otrzymany wynik należy do dziedziny równania. Ponieważ tak jest (osiem trzecich należy do dziedziny)
[tex]\displaystyle \dfrac 8 3 \neq 2[/tex]
rozwiązaniem jest
[tex]\displaystyle \boxed {~~ x = \dfrac 8 3 ~~ }[/tex] .