Rozwiązanie:
Wymiary:
[tex](2x+5), (30-3x)[/tex]
Obliczamy pole prostokąta:
[tex]P=(2x+5)(30-3x)=60x-6x^{2}+150-15x=-6x^{2}+45x+150[/tex]
Rozważmy funkcję [tex]P(x)=-6x^{2}+45x+150[/tex] określoną dla [tex]x \in (-\frac{5}{2} ,10)[/tex]. Obliczamy dla jakiego [tex]x[/tex] funkcja [tex]P[/tex] osiąga największą wartość :
[tex]p=-\frac{b}{2a}=\frac{-45}{-12} =\frac{45}{12} \in D[/tex]
Obliczamy obwód prostokąta o największym polu:
[tex]Obw.=2(2x+5+30-3x)=2(35-x)=70-2x=70-2 \cdot \frac{45}{12} =70-\frac{45}{6} =\frac{125}{2}=62,5[/tex]
Cześć!
Pokażę drugą możliwość, z użyciem ekstremum (rzecz jasna przedstawiona druga odpowiedź jest szybsza i lepsza, ale warto wiedzieć i umieć więcej):
Niech
[tex]a=2x+5\\\\b=30-3x[/tex]
Stąd założenia:
[tex]$\left\{ \begin{array}{ll}a>0 & \Longrightarrow 2x+5>0 \iff2x>-5 \iff x>-\frac{5}{2}\\b>0 & \Longrightarrow 30-3x>0 \iff 30>3x \iff x<10\\\end{array} \right.\\$[/tex]
Zatem część wspólna założeń jest dziedziną: [tex]x \in (-\frac{5}{2}; 10)[/tex]
Wówczas pole prostokąta to:
[tex]P=a\cdot b\\\\P(x)=(2x+5)(30-3x)\\\\P(x) = 60x-6x^2+150-15x\\\\P(x)=-6x^2+45x+150[/tex]
Szukamy takich wymiarów prostokąta, aby [tex]P(x) \longrightarrow \mathrm{max}[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]P'(x) = 2 \cdot(-6x) + 45 = -12x+45[/tex]
Musimy znaleźć maksimum lokalne funkcji, czyli wartość "x", dla której pole będzie największe. Po pierwsze - warunek konieczny:
[tex]P'(x) = 0 \iff -12x+45 = 0 \iff\\\\~~~~~~~~ ~~~~~~\iff -12x=-45 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~\iff x = \frac{45}{12}[/tex]
Przechodzimy do warunku wystarczającego, który określa nam, kiedy nasza pochodna jest większa i mniejsza od zera. Sprawdzamy zatem:
[tex]P'(x) > 0 \iff -12x+45 > 0 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~\iff -12x>-45 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~\iff x<\frac{45}{12}\\\\P'(x) < 0 \iff -12x+45 < 0 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~\iff -12x<-45 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~\iff x>\frac{45}{12}[/tex]
Wykresem pochodnej jest prosta. Pochodna zmienia znak z + na -, więc funkcja osiąga ekstremum w punkcie [tex]\frac{45}{12} \in \mathrm{D}[/tex] - jest to maksimum lokalne.
Czyli dla wartości [tex]x=\frac{45}{12}[/tex], pole tego prostokąta jest największe. Podstawmy wartość [tex]x[/tex] pod wzór na obwód prostokąta:
[tex]l = 2a+2b\\\\l = 2(2x+5) + 2(30-3x)\\\\l = 2(2\cdot \frac{45}{12}+5) + 2(30-3\cdot \frac{45}{12})\\\\l = \frac{45}{3} + 10 + 60 - \frac{45}{2} = 70 +\frac{90}{6} - \frac{135}{6} = 70-\frac{45}{6} = 70-7\frac{3}{6} = 62\frac{1}{2} = 62,5[/tex]
Oczywiście o wiele praktyczniej, tak jak pisałem wyżej, byłoby narysować wykres [tex]P(x)[/tex], czyli parabolę (funkcja jest kwadratowa). Ramiona paraboli skierowane są w dół, zatem największa wartość [tex]q[/tex] będzie osiągnięta dla wartości [tex]p=\frac{-b}{2a}[/tex], gdzie [tex]W(p,q)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli.
Pozdrawiam!
