Cześć!
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Stąd wynika, że wszystkie ściany boczne są równych wymiarów.
Odcinki [tex]\mathrm{C'A}[/tex] i [tex]\mathrm{B'A}[/tex] są równe i są przekątnymi ściany bocznej. Skoro tak, to trójkąt [tex]\mathrm{\triangle C'AB'}[/tex] jest równoramienny, więc [tex]\sphericalangle \mathrm{AC'B'} = \sphericalangle \mathrm{AB'C'}=\alpha[/tex]. Wiemy, że miara kąta [tex]\mathrm{C'AB'}[/tex] jest o [tex]\frac{\pi}{8}[/tex] mniejsza od miary kąta [tex]\mathrm{AB'C'}[/tex], zatem:
[tex]\sphericalangle \mathrm{AB'C'} = \sphericalangle \mathrm{C'AB'} + \frac{\pi}{8}\\\\\alpha = \sphericalangle \mathrm{C'AB'} + \frac{\pi}{8}\\\\\alpha - \frac{\pi}{8}= \sphericalangle \mathrm{C'AB'}[/tex]
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi [tex]180^{\circ}[/tex], układamy równanie:
[tex]\alpha + \alpha + \alpha - \frac{\pi}{8} = 180\\\\3\alpha - \frac{\pi}{8} = \pi\\\\3\alpha = \frac{9\pi}{8} \ |:3\\\\\alpha = \frac{9\pi}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3\pi}{8}[/tex]
Zatem skoro [tex]\sphericalangle \mathrm{C'AB'} = \alpha - \frac{\pi}{8}[/tex], to [tex]\sphericalangle \mathrm{C'AB'} = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}[/tex]
Pozdrawiam!
